Analysis Beispiele

$10 \sin (x y) = 2 x + 3 y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (10 \sin (x y)) = \frac{d}{d x} (2 x + 3 y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 \sin (x y)$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$10 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$10 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$10 (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$10 \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$10 \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$10 \cos (x y) (x y' + y)$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 \cos (x y) (x y') + 10 \cos (x y) y$

Schritt 2.7.2

Stelle die Terme um.

$10 x \cos (x y) y' + 10 y \cos (x y)$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 + 3 y'$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$3 y' + 2$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$10 x \cos (x y) y' + 10 y \cos (x y) = 3 y' + 2$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $10 x \cos (x y) y' + 10 y \cos (x y)$ um.

$10 x y' \cos (x y) + 10 y \cos (x y) = 3 y' + 2$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3 y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x y' \cos (x y) + 10 y \cos (x y) - 3 y' = 2$

Schritt 5.3

Subtrahiere $10 y \cos (x y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x y' \cos (x y) - 3 y' = 2 - 10 y \cos (x y)$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $10 x y' \cos (x y) - 3 y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $10 x y' \cos (x y)$ heraus.

$y' (10 x \cos (x y)) - 3 y' = 2 - 10 y \cos (x y)$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y'$ heraus.

$y' (10 x \cos (x y)) + y' \cdot - 3 = 2 - 10 y \cos (x y)$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (10 x \cos (x y)) + y' \cdot - 3$ heraus.

$y' (10 x \cos (x y) - 3) = 2 - 10 y \cos (x y)$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (10 x \cos (x y) - 3) = 2 - 10 y \cos (x y)$ durch $10 x \cos (x y) - 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (10 x \cos (x y) - 3) = 2 - 10 y \cos (x y)$ durch $10 x \cos (x y) - 3$ .

$\frac{y' (10 x \cos (x y) - 3)}{10 x \cos (x y) - 3} = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} + \frac{- 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10 x \cos (x y) - 3$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (10 x \cos (x y) - 3)}{10 x \cos (x y) - 3} = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} + \frac{- 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} + \frac{- 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} - \frac{10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 - 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Schritt 5.5.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 - 10 y \cos (x y)$ heraus.

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Schritt 5.5.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y' = \frac{2 (1) - 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Schritt 5.5.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 10 y \cos (x y)$ heraus.

$y' = \frac{2 (1) + 2 (- 5 y \cos (x y))}{10 x \cos (x y) - 3}$

Schritt 5.5.3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- 5 y \cos (x y))$ heraus.

$y' = \frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{10 x \cos (x y) - 3}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{10 x \cos (x y) - 3}$

Schritt 7

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 7.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (1 - 5 y \cos (x y)) = 0$

Schritt 7.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (1 - 5 y \cos (x y)) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (1 - 5 y \cos (x y)) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 7.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 7.2.1.2.1.2

Dividiere $1 - 5 y \cos (x y)$ durch $1$ .

$1 - 5 y \cos (x y) = \frac{0}{2}$

Schritt 7.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$1 - 5 y \cos (x y) = 0$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 y \cos (x y) = - 1$

Schritt 7.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y \cos (x y) = - 1$ durch $- 5 y$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y \cos (x y) = - 1$ durch $- 5 y$ .

$\frac{- 5 y \cos (x y)}{- 5 y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 7.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 y \cos (x y)}{- 5 y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

Schritt 7.2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 7.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

Schritt 7.2.3.2.2.2

Dividiere $\cos (x y)$ durch $1$ .

$\cos (x y) = \frac{- 1}{- 5 y}$

Schritt 7.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cos (x y) = \frac{1}{5 y}$

Schritt 7.2.4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x y = \arccos (\frac{1}{5 y})$

Schritt 7.2.5

Teile jeden Ausdruck in $x y = \arccos (\frac{1}{5 y})$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = \arccos (\frac{1}{5 y})$ durch $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$

Schritt 7.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 7.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$

Schritt 7.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache $10 \sin ((\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) y)$ .

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Schritt 8.1.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 8.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 \sin (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y} y) = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$10 \sin (\arccos (\frac{1}{5 y})) = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.1.2

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 8.1.1.2.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\frac{1}{5 y}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{5 y})}^{2}})$ , $(\frac{1}{5 y}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arccos (\frac{1}{5 y})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\frac{1}{5 y}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{5 y})}^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\sin (\arccos (\frac{1}{5 y}))$ $\sqrt{1 - {(\frac{1}{5 y})}^{2}}$ .

$10 \sqrt{1 - {(\frac{1}{5 y})}^{2}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.1.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$10 \sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{5 y})}^{2}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{1}{5 y}$ .

$10 \sqrt{(1 + \frac{1}{5 y}) (1 - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.1.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$10 \sqrt{(\frac{5 y}{5 y} + \frac{1}{5 y}) (1 - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$10 \sqrt{\frac{5 y + 1}{5 y} (1 - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$10 \sqrt{\frac{5 y + 1}{5 y} (\frac{5 y}{5 y} - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$10 \sqrt{\frac{5 y + 1}{5 y} \cdot \frac{5 y - 1}{5 y}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.3.5

Mutltipliziere $\frac{5 y + 1}{5 y}$ mit $\frac{5 y - 1}{5 y}$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{5 y (5 y)}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 8.1.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y \cdot y}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.4.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 (y^{1} y)}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.4.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 (y^{1} y^{1})}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y^{1 + 1}}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y^{2}}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.5

Schreibe $\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y^{2}}$ als ${(\frac{1}{5 y})}^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))$ um.

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Schritt 8.1.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(5 y + 1) (5 y - 1)$ heraus.

$10 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))}{25 y^{2}}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(5 y)}^{2}$ aus $25 y^{2}$ heraus.

$10 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))}{{(5 y)}^{2} \cdot 1}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.5.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))}{{(5 y)}^{2} \cdot 1}$ um.

$10 \sqrt{{(\frac{1}{5 y})}^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$10 (\frac{1}{5 y} \sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}) = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.7

Kombiniere $\frac{1}{5 y}$ und $\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}$ .

$10 \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 8.1.8.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$5 (2) \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.8.2

Faktorisiere $5$ aus $5 y$ heraus.

$5 (2) \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 (y)} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot 2 \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.8.4

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.1.9

Kombiniere $2$ und $\frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y}$ .

$\frac{2 \sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Schritt 8.2

Kombiniere $2$ und $\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$ .

$\frac{2 \sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y} = \frac{2 \arccos (\frac{1}{5 y})}{y} + 3 y$

Schritt 8.3

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$y \approx 0.24419009, 2.99063055$

Schritt 9

Löse nach $x$ auf, wenn $y$ $0.24419009$ ist.

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Schritt 9.1

Entferne die Klammern.

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{5 (0.24419009)})}{0.24419009}$

Schritt 9.2

Vereinfache $\frac{\arccos (\frac{1}{5 (0.24419009)})}{0.24419009}$ .

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $0.24419009$ .

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{1.22095048})}{0.24419009}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.2.1

Dividiere $1$ durch $1.22095048$ .

$x = \frac{\arccos (0.81903403)}{0.24419009}$

Schritt 9.2.2.2

Berechne $\arccos (0.81903403)$ .

$x = \frac{0.61107095}{0.24419009}$

Schritt 9.2.3

Dividiere $0.61107095$ durch $0.24419009$ .

$x = 2.50243954$

Schritt 10

Löse nach $x$ auf, wenn $y$ $2.99063055$ ist.

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Schritt 10.1

Entferne die Klammern.

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{5 (2.99063055)})}{2.99063055}$

Schritt 10.2

Vereinfache $\frac{\arccos (\frac{1}{5 (2.99063055)})}{2.99063055}$ .

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $2.99063055$ .

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{14.95315279})}{2.99063055}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.2.1

Dividiere $1$ durch $14.95315279$ .

$x = \frac{\arccos (0.06687552)}{2.99063055}$

Schritt 10.2.2.2

Berechne $\arccos (0.06687552)$ .

$x = \frac{1.50387084}{2.99063055}$

Schritt 10.2.3

Dividiere $1.50387084$ durch $2.99063055$ .

$x = 0.50286079$

Schritt 11

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(2.50243954, 0.24419009)$

$(0.50286079, 2.99063055)$

Schritt 12