Analysis Beispiele

$y^{2} - 3 x y = 2$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - 3 x y) = \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - 3 x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x y$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' - 3 \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 y y' - 3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' - 3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 y y' - 3 (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 y y' - 3 (x y' + y)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y y' - 3 (x y') - 3 y$

Schritt 2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 y y' - 3 x y' - 3 y$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' - 3 x y' - 3 y = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $3 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' - 3 x y' = 3 y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y' - 3 x y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$y' (2 y) - 3 x y' = 3 y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 x y'$ heraus.

$y' (2 y) + y' (- 3 x) = 3 y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 y) + y' (- 3 x)$ heraus.

$y' (2 y - 3 x) = 3 y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 y - 3 x) = 3 y$ durch $2 y - 3 x$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 y - 3 x) = 3 y$ durch $2 y - 3 x$ .

$\frac{y' (2 y - 3 x)}{2 y - 3 x} = \frac{3 y}{2 y - 3 x}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y - 3 x$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 y - 3 x)}{2 y - 3 x} = \frac{3 y}{2 y - 3 x}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 y}{2 y - 3 x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 y - 3 x}$

Schritt 7

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 7.1

Setze den Zähler gleich Null.

$3 y = 0$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{0}{3}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$y = 0$

Schritt 7.3

Die Variable $x$ wurde abgebrochen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 8

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s), A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s))$

Schritt 9