Analysis Beispiele

$y^{2} = x^{2} + y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' = 2 x + y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' - y' = 2 x$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y' - y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$y' (2 y) - y' = 2 x$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 2 x$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 y) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (2 y - 1) = 2 x$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 y - 1) = 2 x$ durch $2 y - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 y - 1) = 2 x$ durch $2 y - 1$ .

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y - 1$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Schritt 7

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 7.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x = 0$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache $0^{2} + y$ .

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Schritt 8.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y^{2} = 0 + y$

Schritt 8.1.2

Addiere $0$ und $y$ .

$y^{2} = y$

Schritt 8.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - y = 0$

Schritt 8.3

Faktorisiere $y$ aus $y^{2} - y$ heraus.

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y \cdot y - y = 0$

Schritt 8.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y \cdot y + y \cdot - 1 = 0$

Schritt 8.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y + y \cdot - 1$ heraus.

$y (y - 1) = 0$

Schritt 8.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y = 0$

$y - 1 = 0$

Schritt 8.5

Setze $y$ gleich $0$ .

$y = 0$

Schritt 8.6

Setze $y - 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.6.1

Setze $y - 1$ gleich $0$ .

$y - 1 = 0$

Schritt 8.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 1$

Schritt 8.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $y (y - 1) = 0$ wahr machen.

$y = 0, 1$

Schritt 9

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 0)$

$(0, 1)$

Schritt 10