Analysis Beispiele

$x^{3} + y^{3} = 21 x y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (21 x y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $21$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $21 x y$ nach $x$ gleich $21 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$21 \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$21 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$21 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$21 (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$21 (x y' + y)$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$21 x y' + 21 y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 21 x y' + 21 y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $21 x y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 21 x y' = 21 y$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' - 21 x y' = 21 y - 3 x^{2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y^{2} y' - 21 x y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$3 y' y^{2} - 21 x y' = 21 y - 3 x^{2}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $3 y'$ aus $- 21 x y'$ heraus.

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 7 x) = 21 y - 3 x^{2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y' y^{2} + 3 y' (- 7 x)$ heraus.

$3 y' (y^{2} - 7 x) = 21 y - 3 x^{2}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y' (y^{2} - 7 x) = 21 y - 3 x^{2}$ durch $3 (y^{2} - 7 x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y' (y^{2} - 7 x) = 21 y - 3 x^{2}$ durch $3 (y^{2} - 7 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 7 x)}{3 (y^{2} - 7 x)} = \frac{21 y}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y' (y^{2} - 7 x)}{3 (y^{2} - 7 x)} = \frac{21 y}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y^{2} - 7 x)}{y^{2} - 7 x} = \frac{21 y}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} - 7 x$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y^{2} - 7 x)}{y^{2} - 7 x} = \frac{21 y}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{21 y}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $3$ .

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Schritt 5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $21 y$ heraus.

$y' = \frac{3 (7 y)}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 (7 y)}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{7 y}{y^{2} - 7 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 5.4.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{7 y}{y^{2} - 7 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{7 y}{y^{2} - 7 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{7 y}{y^{2} - 7 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 7 x}$

Schritt 5.4.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{7 y}{y^{2} - 7 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 7 x}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{7 y - x^{2}}{y^{2} - 7 x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 y - x^{2}}{y^{2} - 7 x}$

Schritt 7

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 7.1

Setze den Zähler gleich Null.

$7 y - x^{2} = 0$

Schritt 7.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $7 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 7 y$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 7 y$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 7 y$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 7 y}{- 1}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 7 y}{- 1}$

Schritt 7.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7 y}{- 1}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 7 y}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot (- 7 y)$

Schritt 7.2.2.3.2

Schreibe $- 1 \cdot (- 7 y)$ als $- (- 7 y)$ um.

$x^{2} = - (- 7 y)$

Schritt 7.2.2.3.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$x^{2} = 7 y$

Schritt 7.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7 y}$

Schritt 7.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{7 y}$

Schritt 7.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{7 y}$

Schritt 7.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{7 y}$

$x = - \sqrt{7 y}$

$x = \sqrt{7 y}$

$x = - \sqrt{7 y}$

$x = \sqrt{7 y}$

$x = - \sqrt{7 y}$

$x = \sqrt{7 y}$

$x = - \sqrt{7 y}$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Schreibe ${\sqrt{7 y}}^{3}$ als $\sqrt{{(7 y)}^{3}}$ um.

$\sqrt{{(7 y)}^{3}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Schritt 8.1.2

Wende die Produktregel auf $7 y$ an.

$\sqrt{7^{3} y^{3}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Schritt 8.1.3

Potenziere $7$ mit $3$ .

$\sqrt{343 y^{3}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Schritt 8.1.4

Schreibe $343 y^{3}$ als ${(7 y)}^{2} \cdot (7 y)$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $49$ aus $343$ heraus.

$\sqrt{49 (7) y^{3}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\sqrt{7^{2} \cdot 7 y^{3}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Schritt 8.1.4.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus.

$\sqrt{7^{2} \cdot 7 (y^{2} y)} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Schritt 8.1.4.4

Bewege $7$ .

$\sqrt{7^{2} y^{2} \cdot 7 y} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Schritt 8.1.4.5

Schreibe $7^{2} y^{2}$ als ${(7 y)}^{2}$ um.

$\sqrt{{(7 y)}^{2} \cdot 7 y} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Schritt 8.1.4.6

Füge Klammern hinzu.

$\sqrt{{(7 y)}^{2} \cdot (7 y)} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$7 y \sqrt{7 y} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Schritt 8.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 y}$ als ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$7 y {(7 y)}^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Schritt 8.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 y}$ als ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$7 y {(7 y)}^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Schritt 8.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.4.1

Wende die Produktregel auf $7 y$ an.

$7 y (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Schritt 8.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$7 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Schritt 8.4.3

Multipliziere $7$ mit $7^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.3.1

Mutltipliziere $7$ mit $7^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 8.4.3.1.1

Potenziere $7$ mit $1$ .

$7^{1} \cdot 7^{\frac{1}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Schritt 8.4.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7^{1 + \frac{1}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Schritt 8.4.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$7^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Schritt 8.4.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7^{\frac{2 + 1}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Schritt 8.4.3.4

Addiere $2$ und $1$ .

$7^{\frac{3}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Schritt 8.4.4

Multipliziere $y$ mit $y^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.4.1

Bewege $y^{\frac{1}{2}}$ .

$7^{\frac{3}{2}} (y^{\frac{1}{2}} y) + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Schritt 8.4.4.2

Mutltipliziere $y^{\frac{1}{2}}$ mit $y$ .

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Schritt 8.4.4.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$7^{\frac{3}{2}} (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Schritt 8.4.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2} + 1} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Schritt 8.4.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Schritt 8.4.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1 + 2}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Schritt 8.4.4.5

Addiere $1$ und $2$ .

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Schritt 8.5

Vereinfache $21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$ .

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Schritt 8.5.1

Wende die Produktregel auf $7 y$ an.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) y$

Schritt 8.5.2

Multipliziere $y^{\frac{1}{2}}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.5.2.1

Bewege $y$ .

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} (y \cdot y^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 8.5.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 8.5.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} (y^{1} y^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 8.5.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} y^{1 + \frac{1}{2}})$

Schritt 8.5.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})$

Schritt 8.5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2 + 1}{2}})$

Schritt 8.5.2.5

Addiere $2$ und $1$ .

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{3}{2}})$

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.6

Subtrahiere $21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{3}{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} - 21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{3}{2}} = 0$

Schritt 8.7

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $y^{\frac{3}{2}}$ , der in jedem Term vorkommt.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} {(y^{\frac{3}{2}})}^{2} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{3}{2}})$

Schritt 8.8

Ersetze $y^{\frac{3}{2}}$ durch $u$ .

$7^{\frac{3}{2}} (u) {(u)}^{2} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u)) = 0$

Schritt 8.9

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.9.1

Vereinfache $7^{\frac{3}{2}} (u) {(u)}^{2} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u))$ .

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Schritt 8.9.1.1

Multipliziere $u$ mit ${(u)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.9.1.1.1

Bewege ${(u)}^{2}$ .

$7^{\frac{3}{2}} ({(u)}^{2} u) - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u)) = 0$

Schritt 8.9.1.1.2

Mutltipliziere ${(u)}^{2}$ mit $u$ .

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Schritt 8.9.1.1.2.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$7^{\frac{3}{2}} ({(u)}^{2} u^{1}) - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u)) = 0$

Schritt 8.9.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7^{\frac{3}{2}} u^{2 + 1} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u)) = 0$

Schritt 8.9.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$7^{\frac{3}{2}} u^{3} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u)) = 0$

$7^{\frac{3}{2}} u^{3} - 21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} u = 0$

Schritt 8.9.1.2

Stelle die Faktoren in $7^{\frac{3}{2}} u^{3} - 21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} u$ um.

$u^{3} \cdot 7^{\frac{3}{2}} - 21 u \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 8.9.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.9.2.1

Faktorisiere $u \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ aus $u^{3} \cdot 7^{\frac{3}{2}} - 21 u \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 8.9.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 8.9.2.1.1.1

Stelle $u^{3}$ und $7^{\frac{3}{2}}$ um.

$7^{\frac{3}{2}} \cdot u^{3} - 21 u \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 8.9.2.1.1.2

Bewege $u$ .

$7^{\frac{3}{2}} \cdot u^{3} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} u) = 0$

Schritt 8.9.2.1.2

Faktorisiere $u \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ aus $7^{\frac{3}{2}} \cdot u^{3}$ heraus.

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7^{\frac{2}{2}} \cdot u^{2})) - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} u) = 0$

Schritt 8.9.2.1.3

Faktorisiere $u \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ aus $- 21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} u$ heraus.

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7^{\frac{2}{2}} \cdot u^{2})) + u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (- 21)) = 0$

Schritt 8.9.2.1.4

Faktorisiere $u \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ aus $u \cdot 7^{\frac{1}{2}} (7^{\frac{2}{2}} \cdot u^{2}) + u \cdot 7^{\frac{1}{2}} (- 21)$ heraus.

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7^{\frac{2}{2}} \cdot u^{2} - 21)) = 0$

Schritt 8.9.2.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7 \cdot u^{2} - 21)) = 0$

Schritt 8.9.2.3

Berechne den Exponenten.

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7 u^{2} - 21)) = 0$

Schritt 8.9.2.4

Faktorisiere.

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Schritt 8.9.2.4.1

Faktorisiere $7$ aus $7 u^{2} - 21$ heraus.

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Schritt 8.9.2.4.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 u^{2}$ heraus.

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7 (u^{2}) - 21)) = 0$

Schritt 8.9.2.4.1.2

Faktorisiere $7$ aus $- 21$ heraus.

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7 u^{2} + 7 \cdot - 3)) = 0$

Schritt 8.9.2.4.1.3

Faktorisiere $7$ aus $7 u^{2} + 7 \cdot - 3$ heraus.

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7 (u^{2} - 3))) = 0$

Schritt 8.9.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$u \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot (7 (u^{2} - 3)) = 0$

Schritt 8.9.2.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 8.9.2.5.1

Potenziere $7$ mit $1$ .

$u \cdot ((7 \cdot 7^{\frac{1}{2}}) (u^{2} - 3)) = 0$

Schritt 8.9.2.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u \cdot (7^{1 + \frac{1}{2}} (u^{2} - 3)) = 0$

Schritt 8.9.2.5.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$u \cdot (7^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (u^{2} - 3)) = 0$

Schritt 8.9.2.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u \cdot (7^{\frac{2 + 1}{2}} (u^{2} - 3)) = 0$

Schritt 8.9.2.5.5

Addiere $2$ und $1$ .

$u \cdot (7^{\frac{3}{2}} (u^{2} - 3)) = 0$

Schritt 8.9.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$u^{2} - 3 = 0$

Schritt 8.9.4

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

Schritt 8.9.5

Setze $u^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.9.5.1

Setze $u^{2} - 3$ gleich $0$ .

$u^{2} - 3 = 0$

Schritt 8.9.5.2

Löse $u^{2} - 3 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 8.9.5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} = 3$

Schritt 8.9.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{3}$

Schritt 8.9.5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.9.5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$u = \sqrt{3}$

Schritt 8.9.5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$u = - \sqrt{3}$

Schritt 8.9.5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$u = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 8.9.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $u \cdot (7^{\frac{3}{2}} (u^{2} - 3)) = 0$ wahr machen.

$u = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 8.10

Ersetze $u$ durch $y$ .

$y^{\frac{3}{2}} = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 8.11

Löse nach $y^{\frac{3}{2}} = 0$ auf für $y$ .

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Schritt 8.11.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 0^{\frac{2}{3}}$

Schritt 8.11.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 8.11.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.11.2.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 8.11.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 8.11.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 0^{\frac{2}{3}}$

Schritt 8.11.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.11.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 0^{\frac{2}{3}}$

Schritt 8.11.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{\frac{2}{3}}$

Schritt 8.11.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.11.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{\frac{2}{3}}$

Schritt 8.11.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = 0^{\frac{2}{3}}$

Schritt 8.11.2.1.1.2

Vereinfache.

$y = 0^{\frac{2}{3}}$

Schritt 8.11.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.11.2.2.1

Vereinfache $0^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 8.11.2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.11.2.2.1.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$y = {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 8.11.2.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 8.11.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.11.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 8.11.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 0^{2}$

Schritt 8.11.2.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0$

Schritt 8.12

Löse nach $y^{\frac{3}{2}} = \sqrt{3}$ auf für $y$ .

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Schritt 8.12.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 8.12.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 8.12.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.12.2.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 8.12.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 8.12.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 8.12.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.12.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 8.12.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 8.12.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.12.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 8.12.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 8.12.2.1.1.2

Vereinfache.

$y = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 8.12.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.12.2.2.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$ als $\sqrt[3]{3}$ um.

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Schritt 8.12.2.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = {(3^{\frac{1}{2}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 8.12.2.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}$

Schritt 8.12.2.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$y = 3^{\frac{2}{2 \cdot 3}}$

Schritt 8.12.2.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = 3^{\frac{2}{6}}$

Schritt 8.12.2.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 8.12.2.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = 3^{\frac{2 (1)}{6}}$

Schritt 8.12.2.2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.12.2.2.1.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y = 3^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}$

Schritt 8.12.2.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 3^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}$

Schritt 8.12.2.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 3^{\frac{1}{3}}$

Schritt 8.12.2.2.1.6

Schreibe $3^{\frac{1}{3}}$ als $\sqrt[3]{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{3}$

Schritt 8.13

Liste alle Lösungen auf.

$y = 0, \sqrt[3]{3}, \sqrt[3]{3}$

Schritt 8.14

Schließe die Lösungen aus, die ${(\sqrt{7 y})}^{3} + y^{3} = 21 (\sqrt{7 y}) y$ nicht erfüllen.

$y = 0$

Schritt 9

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(\sqrt{7 y}, 0)$

$(- \sqrt{7 y}, 0)$

Schritt 10