Analysis Beispiele

$x^{2} + x y + y^{2} = 27$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (27)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x y + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Schritt 3

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $x y' + 2 y y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x) + y' (2 y)$ heraus.

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ durch $x + 2 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ durch $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2 y$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - (y)$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.5.1

Schreibe $- (2 x + y)$ als $- 1 (2 x + y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Schritt 5.3.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Schritt 7

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 7.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x + y = 0$

Schritt 7.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - y$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - y$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - y$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y}{2}$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache ${(- \frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2}$ .

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Schritt 8.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 8.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{y}{2}$ an.

${(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Schritt 8.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{2}$ an.

${(- 1)}^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Schritt 8.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Schritt 8.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Schritt 8.1.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Schritt 8.1.1.5

Multipliziere $(- \frac{y}{2}) y$ .

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Schritt 8.1.1.5.1

Kombiniere $y$ und $\frac{y}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y \cdot y}{2} + y^{2} = 27$

Schritt 8.1.1.5.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y}{2} + y^{2} = 27$

Schritt 8.1.1.5.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y^{1}}{2} + y^{2} = 27$

Schritt 8.1.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} + y^{2} = 27$

Schritt 8.1.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} + y^{2} = 27$

Schritt 8.1.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - (\frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2}) + y^{2} = 27$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + y^{2} = 27$

Schritt 8.1.2.3

Schreibe $y^{2}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} = 27$

Schritt 8.1.2.4

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} \cdot \frac{4}{4} = 27$

Schritt 8.1.2.5

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Schritt 8.1.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Schritt 8.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2 + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Schritt 8.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Schritt 8.1.4.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

Schritt 8.1.5

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 8.1.5.1

Subtrahiere $2 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

Schritt 8.1.5.2

Addiere $- y^{2}$ und $4 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2}}{4} = 27$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Schritt 8.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1.1

Vereinfache $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kombinieren.

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Schritt 8.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Schritt 8.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Schritt 8.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Schritt 8.3.1.1.3.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Vereinfache $\frac{4}{3} \cdot 27$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.3.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 (9))$

Schritt 8.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 \cdot 9)$

Schritt 8.3.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 4 \cdot 9$

Schritt 8.3.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$y^{2} = 36$

Schritt 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{36}$

Schritt 8.5

Vereinfache $\pm \sqrt{36}$ .

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Schritt 8.5.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{6^{2}}$

Schritt 8.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 6$

Schritt 8.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = 6$

Schritt 8.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - 6$

Schritt 8.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 6, - 6$

Schritt 9

Solve for $x$ when $y$ is $6$ .

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Schritt 9.1

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{6}{2}$

Schritt 9.2

Vereinfache $- \frac{6}{2}$ .

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Schritt 9.2.1

Dividiere $6$ durch $2$ .

$x = - 1 \cdot 3$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x = - 3$

Schritt 10

Vereinfache $- \frac{- 6}{2}$ .

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Schritt 10.1

Dividiere $- 6$ durch $2$ .

$x = - - 3$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$x = 3$

Schritt 11

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- 3, 6)$

$(3, - 6)$

Schritt 12