Analysis Beispiele

$3 x y = \ln (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (3 x y) = \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$3 (x y' + y)$

Schritt 2.6

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x y' + 3 y$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x y' + 3 y = \frac{1}{x}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$ durch $3 x$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$ durch $3 x$ .

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Schritt 5.2.3.1.2

Multipliziere $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x}$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{3 x}$ .

$y' = \frac{1}{x (3 x)} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{1}{3 (x^{1} x)} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{1}{3 (x^{1} x^{1})} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Schritt 5.2.3.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{1}{3 x^{1 + 1}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Schritt 5.2.3.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Schritt 5.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 5.2.3.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 y$ heraus.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Schritt 5.2.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 (x)}$

Schritt 5.2.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Schritt 5.2.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- y}{x}$

Schritt 5.2.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x}$

Schritt 7

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 7.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 x^{2}, x, 1$

Schritt 7.1.2

Since $3 x^{2}, x, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{1}$ .

Schritt 7.1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 7.1.4

Da $3$ keine Teiler außer $1$ und $3$ hat.

$3$ ist eine Primzahl

Schritt 7.1.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 7.1.6

Das kgV von $3, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$3$

Schritt 7.1.7

Die Teiler von $x^{2}$ sind $x \cdot x$ , was $x$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 7.1.8

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 7.1.9

Das kgV von $x^{2}, x^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x$

Schritt 7.1.10

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2}$

Schritt 7.1.11

Das kgV von $3 x^{2}, x, 1$ ist der numerische Teil $3$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$3 x^{2}$

Schritt 7.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x} = 0$ mit $3 x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 7.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x} = 0$ mit $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3 x^{2}} (3 x^{2}) - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{1}{3 x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Schritt 7.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 \frac{1}{3 (x^{2})} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Schritt 7.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{1}{3 x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Schritt 7.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Schritt 7.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 7.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Schritt 7.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Schritt 7.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{x}$ in den Zähler.

$1 + \frac{- y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Schritt 7.2.2.1.4.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$1 + \frac{- y}{x} (x (3 x)) = 0 (3 x^{2})$

Schritt 7.2.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{- y}{x} (x (3 x)) = 0 (3 x^{2})$

Schritt 7.2.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$1 - y (3 x) = 0 (3 x^{2})$

Schritt 7.2.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$1 - 3 y x = 0 (3 x^{2})$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Multipliziere $0 (3 x^{2})$ .

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Schritt 7.2.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$1 - 3 y x = 0 x^{2}$

Schritt 7.2.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$1 - 3 y x = 0$

Schritt 7.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y x = - 1$

Schritt 7.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y x = - 1$ durch $- 3 y$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y x = - 1$ durch $- 3 y$ .

$\frac{- 3 y x}{- 3 y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y x}{- 3 y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Schritt 7.3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y x}{y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Schritt 7.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 7.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x}{y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Schritt 7.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3 y}$

Schritt 7.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{3 y}$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y$ .

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Schritt 8.1.1

Forme um.

$0 + 0 + 3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Schritt 8.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Schritt 8.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y$ heraus.

$3 \frac{1}{3 (y)} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Schritt 8.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{1}{3 y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Schritt 8.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Schritt 8.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 8.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Schritt 8.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \ln (\frac{1}{3 y})$

Schritt 8.2

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$\ln (\frac{1}{3 y}) = 1$

Schritt 8.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{1}{3 y})} = e^{1}$

Schritt 8.4

Schreibe $\ln (\frac{1}{3 y}) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{1} = \frac{1}{3 y}$

Schritt 8.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{3 y} = e^{1}$ um.

$\frac{1}{3 y} = e$

Schritt 8.5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 8.5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 y, 1$

Schritt 8.5.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$3 y$

Schritt 8.5.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{3 y} = e$ mit $3 y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 8.5.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{3 y} = e$ mit $3 y$ .

$\frac{1}{3 y} (3 y) = e (3 y)$

Schritt 8.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.5.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{1}{3 y} y = e (3 y)$

Schritt 8.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.5.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y$ heraus.

$3 \frac{1}{3 (y)} y = e (3 y)$

Schritt 8.5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{1}{3 y} y = e (3 y)$

Schritt 8.5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} y = e (3 y)$

Schritt 8.5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 8.5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} y = e (3 y)$

Schritt 8.5.3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = e (3 y)$

Schritt 8.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.5.3.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e$ .

$1 = 3 e y$

Schritt 8.5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 8.5.4.1

Schreibe die Gleichung als $3 e y = 1$ um.

$3 e y = 1$

Schritt 8.5.4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 e y = 1$ durch $3 e$ und vereinfache.

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Schritt 8.5.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 e y = 1$ durch $3 e$ .

$\frac{3 e y}{3 e} = \frac{1}{3 e}$

Schritt 8.5.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.5.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 e y}{3 e} = \frac{1}{3 e}$

Schritt 8.5.4.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e y}{e} = \frac{1}{3 e}$

Schritt 8.5.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e$ .

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Schritt 8.5.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e y}{e} = \frac{1}{3 e}$

Schritt 8.5.4.2.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{3 e}$

Schritt 9

Solve for $x$ when $y$ is $\frac{1}{3 e}$ .

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Schritt 9.1

Multipliziere $3$ mit $\frac{1}{3 e}$ .

$x = \frac{1}{3 (\frac{1}{3 e})}$

Schritt 9.2

Vereinfache $\frac{1}{3 (\frac{1}{3 e})}$ .

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3 e}$ .

$x = \frac{1}{\frac{3}{3 e}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Ausdruck $\frac{3}{3 e}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{1}{\frac{3}{3 e}}$

Schritt 9.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{\frac{1}{e}}$

Schritt 9.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = 1 e$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$x = e$

Schritt 10

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(e, \frac{1}{3 e})$

Schritt 11