Analysis Beispiele

$\cot (y) = x - y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\cot (y)) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\cot (u)$ nach $u$ ist $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \csc^{2} (y) y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 - y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- \csc^{2} (y) y' = 1 - y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- \csc^{2} (y) y'$ um.

$- y' \csc^{2} (y) = 1 - y'$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $y'$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Addiere $y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y' \csc^{2} (y) + y' = 1$

Schritt 5.2.2

Stelle $- y' \csc^{2} (y)$ und $y'$ um.

$y' - y' \csc^{2} (y) = 1$

Schritt 5.2.3

Schreibe $y'$ als $1 y'$ um.

$1 y' - y' \csc^{2} (y) = 1$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $- y'$ aus $1 y'$ heraus.

$- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y) = 1$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $- y'$ aus $- y' \csc^{2} (y)$ heraus.

$- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y) = 1$

Schritt 5.2.6

Faktorisiere $- y'$ aus $- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y)$ heraus.

$- y' (- 1 + \csc^{2} (y)) = 1$

Schritt 5.2.7

Ordne Terme um.

$- y' (\csc^{2} (y) - 1) = 1$

Schritt 5.2.8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- y' \cot^{2} (y) = 1$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- y' \cot^{2} (y) = 1$ durch $- \cot^{2} (y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- y' \cot^{2} (y) = 1$ durch $- \cot^{2} (y)$ .

$\frac{- y' \cot^{2} (y)}{- \cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y' \cot^{2} (y)}{\cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cot^{2} (y)$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \cot^{2} (y)}{\cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \cot^{2} (y)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1}{\cot^{2} (y)}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y' = - \frac{1^{2}}{\cot^{2} (y)}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $\frac{1^{2}}{\cot^{2} (y)}$ als ${(\frac{1}{\cot (y)})}^{2}$ um.

$y' = - {(\frac{1}{\cot (y)})}^{2}$

Schritt 5.3.3.4

Schreibe $\cot (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y' = - {(\frac{1}{\frac{\cos (y)}{\sin (y)}})}^{2}$

Schritt 5.3.3.5

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ zu dividieren.

$y' = - {(\frac{\sin (y)}{\cos (y)})}^{2}$

Schritt 5.3.3.6

Wandle von $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ nach $\tan (y)$ um.

$y' = - \tan^{2} (y)$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \tan^{2} (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan^{2} (y) = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan^{2} (y) = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan^{2} (y)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan^{2} (y)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 7.1.2.2

Dividiere $\tan^{2} (y)$ durch $1$ .

$\tan^{2} (y) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$\tan^{2} (y) = 0$

Schritt 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (y) = \pm \sqrt{0}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 7.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\tan (y) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 7.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\tan (y) = \pm 0$

Schritt 7.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$\tan (y) = 0$

Schritt 7.4

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$y = \arctan (0)$

Schritt 7.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.5.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 7.6

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$y = π + 0$

Schritt 7.7

Addiere $π$ und $0$ .

$y = π$

Schritt 7.8

Ermittele die Periode von $\tan (y)$ .

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Schritt 7.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 7.8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 7.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 7.8.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 7.9

Die Periode der Funktion $\tan (y)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$y = π n, π + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7.10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$y = π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.1

Entferne die Klammern.

$\cot (y) = π n - y$

Schritt 9

Solve for $x$ when $y$ is $π n - y$ .

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die $n$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $π n$ von beiden Seiten der Gleichung.

$π n - y - π n = 0$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $π n - y - π n$ .

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $π n$ von $π n$ .

$- y + 0 = 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $- y$ und $0$ .

$- y = 0$

Schritt 9.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 9.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{0}{- 1}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$y = 0$

Schritt 10

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, π n - y)$

Schritt 11