Analysis Beispiele

$9 x^{2} + 25 y^{2} = 225$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (9 x^{2} + 25 y^{2}) = \frac{d}{d x} (225)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} + 25 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [25 y^{2}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [25 y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [25 y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25 y^{2}$ nach $x$ gleich $25 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$18 x + 25 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$18 x + 25 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$18 x + 25 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$18 x + 25 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$18 x + 25 (2 y y')$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$18 x + 50 y y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$50 y y' + 18 x$

Schritt 3

Da $225$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $225$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$50 y y' + 18 x = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $18 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$50 y y' = - 18 x$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $50 y y' = - 18 x$ durch $50 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $50 y y' = - 18 x$ durch $50 y$ .

$\frac{50 y y'}{50 y} = \frac{- 18 x}{50 y}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $50$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{50 y y'}{50 y} = \frac{- 18 x}{50 y}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 18 x}{50 y}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 18 x}{50 y}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 18 x}{50 y}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $50$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 18 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 9 x)}{50 y}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $50 y$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 9 x)}{2 (25 y)}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- 9 x)}{2 (25 y)}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 9 x}{25 y}$

Schritt 5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{9 x}{25 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x}{25 y}$

Schritt 7

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 7.1

Setze den Zähler gleich Null.

$9 x = 0$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 0$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 0$ durch $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{0}{9}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x}{9} = \frac{0}{9}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{9}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Dividiere $0$ durch $9$ .

$x = 0$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache $9 \cdot 0^{2} + 25 y^{2}$ .

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Schritt 8.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$9 \cdot 0 + 25 y^{2} = 225$

Schritt 8.1.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$0 + 25 y^{2} = 225$

Schritt 8.1.2

Addiere $0$ und $25 y^{2}$ .

$25 y^{2} = 225$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $25 y^{2} = 225$ durch $25$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $25 y^{2} = 225$ durch $25$ .

$\frac{25 y^{2}}{25} = \frac{225}{25}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 y^{2}}{25} = \frac{225}{25}$

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{225}{25}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Dividiere $225$ durch $25$ .

$y^{2} = 9$

Schritt 8.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9}$

Schritt 8.4

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 8.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 8.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 3$

Schritt 8.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = 3$

Schritt 8.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - 3$

Schritt 8.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 3, - 3$

Schritt 9

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 3)$

$(0, - 3)$

Schritt 10