Analysis Beispiele

$5 x^{2} - 2 x y + 7 y^{2} = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (5 x^{2} - 2 x y + 7 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} - 2 x y + 7 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$10 x - 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$10 x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$10 x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 x - 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [7 y^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 y^{2}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (2 y y')$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 14 y y'$

Schritt 2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 x - 2 (x y') - 2 y + 14 y y'$

Schritt 2.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$10 x - 2 x y' - 2 y + 14 y y'$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$- 2 x y' + 14 y y' + 10 x - 2 y$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 2 x y' + 14 y y' + 10 x - 2 y = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Subtrahiere $10 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x y' + 14 y y' - 2 y = - 10 x$

Schritt 5.1.2

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x y' + 14 y y' = - 10 x + 2 y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 2 x y' + 14 y y'$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 2 x y'$ heraus.

$2 y' (- x) + 14 y y' = - 10 x + 2 y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $14 y y'$ heraus.

$2 y' (- x) + 2 y' (7 y) = - 10 x + 2 y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' (- x) + 2 y' (7 y)$ heraus.

$2 y' (- x + 7 y) = - 10 x + 2 y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (- x + 7 y) = - 10 x + 2 y$ durch $2 (- x + 7 y)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (- x + 7 y) = - 10 x + 2 y$ durch $2 (- x + 7 y)$ .

$\frac{2 y' (- x + 7 y)}{2 (- x + 7 y)} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (- x + 7 y)}{2 (- x + 7 y)} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (- x + 7 y)}{- x + 7 y} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x + 7 y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- x + 7 y)}{- x + 7 y} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 5 x}{- x + 7 y} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{5 x}{- x + 7 y} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{5 x}{- x + 7 y} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{5 x}{- x + 7 y} + \frac{y}{- x + 7 y}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 5 x + y}{- x + 7 y}$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x$ heraus.

$y' = \frac{- (5 x) + y}{- x + 7 y}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$y' = \frac{- (5 x) - 1 (- y)}{- x + 7 y}$

Schritt 5.3.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x) - 1 (- y)$ heraus.

$y' = \frac{- (5 x - y)}{- x + 7 y}$

Schritt 5.3.3.2.5

Schreibe $- (5 x - y)$ als $- 1 (5 x - y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- x + 7 y}$

Schritt 5.3.3.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- (x) + 7 y}$

Schritt 5.3.3.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $7 y$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- (x) - (- 7 y)}$

Schritt 5.3.3.2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (- 7 y)$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- (x - 7 y)}$

Schritt 5.3.3.2.9

Schreibe $- (x - 7 y)$ als $- 1 (x - 7 y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- 1 (x - 7 y)}$

Schritt 5.3.3.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- 1 (x - 7 y)}$

Schritt 5.3.3.2.11

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{5 x - y}{x - 7 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x - y}{x - 7 y}$

Schritt 7

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Setze den Zähler gleich Null.

$5 x - y = 0$

Schritt 7.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = y$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = y$ durch $5$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = y$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{y}{5}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{y}{5}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{y}{5}$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Vereinfache $5 {(\frac{y}{5})}^{2} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{5}$ an.

$5 \frac{y^{2}}{5^{2}} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Schritt 8.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$5 \frac{y^{2}}{25} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Schritt 8.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1.3.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$5 \frac{y^{2}}{5 (5)} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Schritt 8.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{y^{2}}{5 \cdot 5} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Schritt 8.1.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2}}{5} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Schritt 8.1.1.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{y}{5}$ .

$\frac{y^{2}}{5} + \frac{- 2 y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Schritt 8.1.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Schritt 8.1.1.6

Multipliziere $- \frac{2 y}{5} y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1.6.1

Kombiniere $y$ und $\frac{2 y}{5}$ .

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{y (2 y)}{5} + 7 y^{2} = 0$

Schritt 8.1.1.6.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 (y^{1} y)}{5} + 7 y^{2} = 0$

Schritt 8.1.1.6.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 (y^{1} y^{1})}{5} + 7 y^{2} = 0$

Schritt 8.1.1.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 y^{1 + 1}}{5} + 7 y^{2} = 0$

Schritt 8.1.1.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 y^{2}}{5} + 7 y^{2} = 0$

Schritt 8.1.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 y^{2} + \frac{y^{2} - 2 y^{2}}{5} = 0$

Schritt 8.1.2.2

Subtrahiere $2 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$7 y^{2} + \frac{- y^{2}}{5} = 0$

Schritt 8.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$7 y^{2} - \frac{y^{2}}{5} = 0$

Schritt 8.1.3

Um $7 y^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$7 y^{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{y^{2}}{5} = 0$

Schritt 8.1.4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.4.1

Kombiniere $7 y^{2}$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{7 y^{2} \cdot 5}{5} - \frac{y^{2}}{5} = 0$

Schritt 8.1.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 y^{2} \cdot 5 - y^{2}}{5} = 0$

Schritt 8.1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.5.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $7 y^{2} \cdot 5 - y^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.5.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $7 y^{2} \cdot 5$ heraus.

$\frac{y^{2} (7 \cdot 5) - y^{2}}{5} = 0$

Schritt 8.1.5.1.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- y^{2}$ heraus.

$\frac{y^{2} (7 \cdot 5) + y^{2} \cdot - 1}{5} = 0$

Schritt 8.1.5.1.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} (7 \cdot 5) + y^{2} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{y^{2} (7 \cdot 5 - 1)}{5} = 0$

Schritt 8.1.5.2

Mutltipliziere $7$ mit $5$ .

$\frac{y^{2} (35 - 1)}{5} = 0$

Schritt 8.1.5.3

Subtrahiere $1$ von $35$ .

$\frac{y^{2} \cdot 34}{5} = 0$

Schritt 8.1.6

Bringe $34$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\frac{34 y^{2}}{5} = 0$

Schritt 8.2

Setze den Zähler gleich Null.

$34 y^{2} = 0$

Schritt 8.3

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Teile jeden Ausdruck in $34 y^{2} = 0$ durch $34$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $34 y^{2} = 0$ durch $34$ .

$\frac{34 y^{2}}{34} = \frac{0}{34}$

Schritt 8.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $34$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{34 y^{2}}{34} = \frac{0}{34}$

Schritt 8.3.1.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{0}{34}$

Schritt 8.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $34$ .

$y^{2} = 0$

Schritt 8.3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{0}$

Schritt 8.3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 8.3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 0$

Schritt 8.3.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 9

Löse nach $x$ auf, wenn $y$ $0$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Entferne die Klammern.

$x = \frac{0}{5}$

Schritt 9.2

Dividiere $0$ durch $5$ .

$x = 0$

Schritt 10

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 0)$

Schritt 11