Analysis Beispiele

$y + \cos (y) = x + 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y + \cos (y)) = \frac{d}{d x} (x + 1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + \cos (y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$y' + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$y' - \sin (u) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$y' - \sin (y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' - \sin (y) y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$- \sin (y) y' + y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- \sin (y) y' + y' = 1$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- \sin (y) y' + y'$ um.

$- y' \sin (y) + y' = 1$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y' \sin (y) + y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $- y' \sin (y)$ heraus.

$y' (- 1 \sin (y)) + y' = 1$

Schritt 5.2.2

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$y' (- 1 \sin (y)) + y' = 1$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' (- 1 \sin (y)) + y' \cdot 1 = 1$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 1 \sin (y)) + y' \cdot 1$ heraus.

$y' (- 1 \sin (y) + 1) = 1$

Schritt 5.3

Schreibe $- 1 \sin (y)$ als $- \sin (y)$ um.

$y' (- \sin (y) + 1) = 1$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (- \sin (y) + 1) = 1$ durch $- \sin (y) + 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- \sin (y) + 1) = 1$ durch $- \sin (y) + 1$ .

$\frac{y' (- \sin (y) + 1)}{- \sin (y) + 1} = \frac{1}{- \sin (y) + 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \sin (y) + 1$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- \sin (y) + 1)}{- \sin (y) + 1} = \frac{1}{- \sin (y) + 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{- \sin (y) + 1}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (y)$ heraus.

$y' = \frac{1}{- (\sin (y)) + 1}$

Schritt 5.4.3.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y' = \frac{1}{- (\sin (y)) - 1 (- 1)}$

Schritt 5.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin (y)) - 1 (- 1)$ heraus.

$y' = \frac{1}{- (\sin (y) - 1)}$

Schritt 5.4.3.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.4.3.4.1

Schreibe $- (\sin (y) - 1)$ als $- 1 (\sin (y) - 1)$ um.

$y' = \frac{1}{- 1 (\sin (y) - 1)}$

Schritt 5.4.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1}{\sin (y) - 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{\sin (y) - 1}$

Schritt 7

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 7.1

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 7.2

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 8

No points that set $\frac{d y}{d x} = 0$ are on the real number plane.

No Points

Schritt 9