Analysis Beispiele

$y = | x^{2} - 9 |$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (| x^{2} - 9 |)$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

Schritt 3.2.3

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x + 0)$

Schritt 3.2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x)$

Schritt 3.2.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 9)}{| x^{2} - 9 |} x$

Schritt 3.2.4.3

Kombiniere $\frac{2 (x^{2} - 9)}{| x^{2} - 9 |}$ und $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 9) x}{| x^{2} - 9 |}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 9) x}{| x^{2} - 9 |}$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.3.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Schritt 3.3.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Schritt 3.3.3.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Schritt 3.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$\frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

Schritt 6

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 6.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x^{3} - 18 x = 0$

Schritt 6.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3} - 18 x$ heraus.

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Schritt 6.2.1.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

Schritt 6.2.1.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 18 x$ heraus.

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

Schritt 6.2.1.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ heraus.

$2 x (x^{2} - 9) = 0$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Schritt 6.2.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 6.2.1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Schritt 6.2.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 6.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 6.2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.2.4

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.4.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 6.2.4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6.2.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 6.2.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (x + 3) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 3, 3$

Schritt 6.3

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |} = 0$ nicht erfüllen.

$x = 0$

Schritt 7

Vereinfache $| {(0)}^{2} - 9 |$ .

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Schritt 7.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = | 0 - 9 |$

Schritt 7.2

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$y = | - 9 |$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 9$ und $0$ ist $9$ .

$y = 9$

Schritt 8

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 9)$

Schritt 9