Analysis Beispiele

$x y = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x y' + y$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x y' + y = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' = - y$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $x y' = - y$ durch $x$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' = - y$ durch $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{x}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{x}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y}{x}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Schritt 7

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1$

Schritt 7.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 7.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{y}{x} = 0$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{y}{x} = 0$ mit $x$ .

$- \frac{y}{x} x = 0 x$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{x}$ in den Zähler.

$\frac{- y}{x} x = 0 x$

Schritt 7.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- y}{x} x = 0 x$

Schritt 7.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- y = 0 x$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$- y = 0$

Schritt 7.3

Teile jeden Ausdruck in $- y = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 7.3.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{0}{- 1}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$y = 0$

Schritt 7.4

Die Variable $x$ wurde abgebrochen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Potenziere $l$ mit $1$ .

$A (l^{1} l) (r e a l) (n u m b e r s) y = 1$

Schritt 8.1.2

Potenziere $l$ mit $1$ .

$A (l^{1} l^{1}) (r e a l) (n u m b e r s) y = 1$

Schritt 8.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$A l^{1 + 1} (r e a l) (n u m b e r s) y = 1$

Schritt 8.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$A l^{2} (r e a l) (n u m b e r s) y = 1$

Schritt 8.1.5

Potenziere $l$ mit $1$ .

$A (l^{1} l^{2}) (r e a) (n u m b e r s) y = 1$

Schritt 8.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$A l^{1 + 2} (r e a) (n u m b e r s) y = 1$

Schritt 8.1.7

Addiere $1$ und $2$ .

$A l^{3} (r e a) (n u m b e r s) y = 1$

Schritt 8.1.8

Potenziere $r$ mit $1$ .

$A l^{3} (e a) (n u m b e (r^{1} r) s) y = 1$

Schritt 8.1.9

Potenziere $r$ mit $1$ .

$A l^{3} (e a) (n u m b e (r^{1} r^{1}) s) y = 1$

Schritt 8.1.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$A l^{3} (e a) (n u m b e r^{1 + 1} s) y = 1$

Schritt 8.1.11

Addiere $1$ und $1$ .

$A l^{3} (e a) (n u m b e r^{2} s) y = 1$

Schritt 8.1.12

Potenziere $e$ mit $1$ .

$A l^{3} (a) (n u m b (e^{1} e) r^{2} s) y = 1$

Schritt 8.1.13

Potenziere $e$ mit $1$ .

$A l^{3} (a) (n u m b (e^{1} e^{1}) r^{2} s) y = 1$

Schritt 8.1.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$A l^{3} (a) (n u m b e^{1 + 1} r^{2} s) y = 1$

Schritt 8.1.15

Addiere $1$ und $1$ .

$A l^{3} (a) (n u m b e^{2} r^{2} s) y = 1$

Schritt 8.1.16

Multipliziere $A l^{3}$ mit $a$ .

$A l^{3} a (n u m b e^{2} r^{2} s) y = 1$

Schritt 8.1.17

Entferne die Klammern.

$A l^{3} a (n u m b e^{2} r^{2}) s y = 1$

Schritt 8.1.18

Entferne die Klammern.

$A l^{3} a (n u m b e^{2}) r^{2} s y = 1$

Schritt 8.1.19

Entferne die Klammern.

$A l^{3} a (n u m b) e^{2} r^{2} s y = 1$

Schritt 8.1.20

Entferne die Klammern.

$A l^{3} a (n u m) b e^{2} r^{2} s y = 1$

Schritt 8.1.21

Entferne die Klammern.

$A l^{3} a (n u) m b e^{2} r^{2} s y = 1$

Schritt 8.1.22

Entferne die Klammern.

$A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y = 1$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y = 1$ durch $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y = 1$ durch $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s$ .

$\frac{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $A$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y}{l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $l^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y}{l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a n u m b e^{2} r^{2} s y}{a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a n u m b e^{2} r^{2} s y}{a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{n u m b e^{2} r^{2} s y}{n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{n u m b e^{2} r^{2} s y}{n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{u m b e^{2} r^{2} s y}{u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{u m b e^{2} r^{2} s y}{u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{m b e^{2} r^{2} s y}{m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $m$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{m b e^{2} r^{2} s y}{m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{b e^{2} r^{2} s y}{b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{b e^{2} r^{2} s y}{b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{2} r^{2} s y}{e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2} r^{2} s y}{e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{r^{2} s y}{r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r^{2} s y}{r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{s y}{s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $s$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{s y}{s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.10.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 9

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s), \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s})$

Schritt 10