Analysis Beispiele

$y = 2 + 48 x^{2} + 32 x^{4}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 + 48 x^{2} + 32 x^{4})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + 48 x^{2} + 32 x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Schritt 3.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $48 x^{2}$ nach $x$ gleich $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $48$ .

$0 + 96 x + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [32 x^{4}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $32 x^{4}$ nach $x$ gleich $32 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 + 96 x + 32 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$0 + 96 x + 32 (4 x^{3})$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $32$ .

$0 + 96 x + 128 x^{3}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Addiere $0$ und $96 x$ .

$96 x + 128 x^{3}$

Schritt 3.4.2

Stelle die Terme um.

$128 x^{3} + 96 x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 128 x^{3} + 96 x$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 128 x^{3} + 96 x$

Schritt 6

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $32 x$ aus $128 x^{3} + 96 x$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $32 x$ aus $128 x^{3}$ heraus.

$32 x (4 x^{2}) + 96 x = 0$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $32 x$ aus $96 x$ heraus.

$32 x (4 x^{2}) + 32 x (3) = 0$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $32 x$ aus $32 x (4 x^{2}) + 32 x (3)$ heraus.

$32 x (4 x^{2} + 3) = 0$

Schritt 6.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} + 3 = 0$

Schritt 6.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.4

Setze $4 x^{2} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $4 x^{2} + 3$ gleich $0$ .

$4 x^{2} + 3 = 0$

Schritt 6.4.2

Löse $4 x^{2} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} = - 3$

Schritt 6.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = - 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = - 3$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 6.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 6.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 6.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{3}{4}$

Schritt 6.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

Schritt 6.4.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ .

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Schritt 6.4.2.4.1

Schreibe $- \frac{3}{4}$ als ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.4.2.4.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

Schritt 6.4.2.4.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $3$ heraus.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

Schritt 6.4.2.4.1.3

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 6.4.2.4.1.4

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

Schritt 6.4.2.4.1.5

Schreibe $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ als ${(\frac{i}{2})}^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

Schritt 6.4.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

Schritt 6.4.2.4.3

Kombiniere $\frac{i}{2}$ und $\sqrt{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.4.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.4.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.4.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.4.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $32 x (4 x^{2} + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 {(0)}^{4}$

Schritt 7.2

Entferne die Klammern.

$y = 2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 \cdot 0^{4}$

Schritt 7.3

Vereinfache $2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 \cdot 0^{4}$ .

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 2 + 48 \cdot 0 + 32 \cdot 0^{4}$

Schritt 7.3.1.2

Mutltipliziere $48$ mit $0$ .

$y = 2 + 0 + 32 \cdot 0^{4}$

Schritt 7.3.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 2 + 0 + 32 \cdot 0$

Schritt 7.3.1.4

Mutltipliziere $32$ mit $0$ .

$y = 2 + 0 + 0$

Schritt 7.3.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 7.3.2.1

Addiere $2$ und $0$ .

$y = 2 + 0$

Schritt 7.3.2.2

Addiere $2$ und $0$ .

$y = 2$

Schritt 8

Berechnete $x$ -Werte können keine imaginären Komponenten enthalten.

$\frac{i \sqrt{3}}{2}$ ist kein gültiger Wert für x

Schritt 9

Berechnete $x$ -Werte können keine imaginären Komponenten enthalten.

$- \frac{i \sqrt{3}}{2}$ ist kein gültiger Wert für x

Schritt 10

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 2)$

Schritt 11