Analysis Beispiele

$x y = 4$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x y' + y$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x y' + y = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' = - y$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $x y' = - y$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' = - y$ durch $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{x}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{x}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y}{x}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Schritt 7

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 7.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1$

Schritt 7.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 7.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{y}{x} = 0$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 7.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{y}{x} = 0$ mit $x$ .

$- \frac{y}{x} x = 0 x$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{x}$ in den Zähler.

$\frac{- y}{x} x = 0 x$

Schritt 7.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- y}{x} x = 0 x$

Schritt 7.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- y = 0 x$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$- y = 0$

Schritt 7.3

Teile jeden Ausdruck in $- y = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 7.3.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{0}{- 1}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$y = 0$

Schritt 7.4

Die Variable $x$ wurde abgebrochen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $l$ mit $1$ .

$A (l^{1} l) (r e a l) (n u m b e r s) y = 4$

Schritt 8.1.2

Potenziere $l$ mit $1$ .

$A (l^{1} l^{1}) (r e a l) (n u m b e r s) y = 4$

Schritt 8.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$A l^{1 + 1} (r e a l) (n u m b e r s) y = 4$

Schritt 8.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$A l^{2} (r e a l) (n u m b e r s) y = 4$

Schritt 8.1.5

Potenziere $l$ mit $1$ .

$A (l^{1} l^{2}) (r e a) (n u m b e r s) y = 4$

Schritt 8.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$A l^{1 + 2} (r e a) (n u m b e r s) y = 4$

Schritt 8.1.7

Addiere $1$ und $2$ .

$A l^{3} (r e a) (n u m b e r s) y = 4$

Schritt 8.1.8

Potenziere $r$ mit $1$ .

$A l^{3} (e a) (n u m b e (r^{1} r) s) y = 4$

Schritt 8.1.9

Potenziere $r$ mit $1$ .

$A l^{3} (e a) (n u m b e (r^{1} r^{1}) s) y = 4$

Schritt 8.1.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$A l^{3} (e a) (n u m b e r^{1 + 1} s) y = 4$

Schritt 8.1.11

Addiere $1$ und $1$ .

$A l^{3} (e a) (n u m b e r^{2} s) y = 4$

Schritt 8.1.12

Potenziere $e$ mit $1$ .

$A l^{3} (a) (n u m b (e^{1} e) r^{2} s) y = 4$

Schritt 8.1.13

Potenziere $e$ mit $1$ .

$A l^{3} (a) (n u m b (e^{1} e^{1}) r^{2} s) y = 4$

Schritt 8.1.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$A l^{3} (a) (n u m b e^{1 + 1} r^{2} s) y = 4$

Schritt 8.1.15

Addiere $1$ und $1$ .

$A l^{3} (a) (n u m b e^{2} r^{2} s) y = 4$

Schritt 8.1.16

Multipliziere $A l^{3}$ mit $a$ .

$A l^{3} a (n u m b e^{2} r^{2} s) y = 4$

Schritt 8.1.17

Entferne die Klammern.

$A l^{3} a (n u m b e^{2} r^{2}) s y = 4$

Schritt 8.1.18

Entferne die Klammern.

$A l^{3} a (n u m b e^{2}) r^{2} s y = 4$

Schritt 8.1.19

Entferne die Klammern.

$A l^{3} a (n u m b) e^{2} r^{2} s y = 4$

Schritt 8.1.20

Entferne die Klammern.

$A l^{3} a (n u m) b e^{2} r^{2} s y = 4$

Schritt 8.1.21

Entferne die Klammern.

$A l^{3} a (n u) m b e^{2} r^{2} s y = 4$

Schritt 8.1.22

Entferne die Klammern.

$A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y = 4$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y = 4$ durch $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y = 4$ durch $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s$ .

$\frac{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{4}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $A$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{4}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y}{l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{4}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $l^{3}$ .

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y}{l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{4}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a n u m b e^{2} r^{2} s y}{a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{4}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 8.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a n u m b e^{2} r^{2} s y}{a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{4}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{n u m b e^{2} r^{2} s y}{n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{4}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n$ .

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Schritt 8.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{n u m b e^{2} r^{2} s y}{n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{4}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{u m b e^{2} r^{2} s y}{u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{4}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 8.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{u m b e^{2} r^{2} s y}{u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{4}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{m b e^{2} r^{2} s y}{m b e^{2} r^{2} s} = \frac{4}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $m$ .

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Schritt 8.2.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{m b e^{2} r^{2} s y}{m b e^{2} r^{2} s} = \frac{4}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{b e^{2} r^{2} s y}{b e^{2} r^{2} s} = \frac{4}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b$ .

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Schritt 8.2.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{b e^{2} r^{2} s y}{b e^{2} r^{2} s} = \frac{4}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{2} r^{2} s y}{e^{2} r^{2} s} = \frac{4}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2}$ .

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Schritt 8.2.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2} r^{2} s y}{e^{2} r^{2} s} = \frac{4}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{r^{2} s y}{r^{2} s} = \frac{4}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r^{2}$ .

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Schritt 8.2.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r^{2} s y}{r^{2} s} = \frac{4}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{s y}{s} = \frac{4}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $s$ .

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Schritt 8.2.2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{s y}{s} = \frac{4}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 8.2.2.10.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{4}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Schritt 9

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s), \frac{4}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s})$

Schritt 10