Analysis Beispiele

$y = 12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8)$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{3}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 27 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$36 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 27$ .

$36 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 36 x$ nach $x$ gleich $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $- 36$ mit $1$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.5.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 + 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $36 x^{2} - 54 x - 36$ und $0$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 36 x^{2} - 54 x - 36$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 36 x^{2} - 54 x - 36$

Schritt 6

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 6.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $18$ aus $36 x^{2} - 54 x - 36$ heraus.

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $18$ aus $36 x^{2}$ heraus.

$18 (2 x^{2}) - 54 x - 36 = 0$

Schritt 6.1.1.2

Faktorisiere $18$ aus $- 54 x$ heraus.

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x) - 36 = 0$

Schritt 6.1.1.3

Faktorisiere $18$ aus $- 36$ heraus.

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x) + 18 (- 2) = 0$

Schritt 6.1.1.4

Faktorisiere $18$ aus $18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x)$ heraus.

$18 (2 x^{2} - 3 x) + 18 (- 2) = 0$

Schritt 6.1.1.5

Faktorisiere $18$ aus $18 (2 x^{2} - 3 x) + 18 (- 2)$ heraus.

$18 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 6.1.2.1.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x$ heraus.

$18 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Schritt 6.1.2.1.1.2

Schreibe $- 3$ um als $1$ plus $- 4$

$18 (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2) = 0$

Schritt 6.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$18 (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2) = 0$

Schritt 6.1.2.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$18 (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 0$

Schritt 6.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$18 ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2) = 0$

Schritt 6.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$18 (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 0$

Schritt 6.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$18 ((2 x + 1) (x - 2)) = 0$

Schritt 6.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$18 (2 x + 1) (x - 2) = 0$

Schritt 6.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 6.3

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 6.3.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 6.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 6.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 6.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $18 (2 x + 1) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Schritt 7

Vereinfache $12 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$ .

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$y = 12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 7.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$y = 12 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 7.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$y = 12 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 7.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 12 (- \frac{1}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 7.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$y = 12 (- \frac{1}{8}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 7.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{8}$ in den Zähler.

$y = 12 (\frac{- 1}{8}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 7.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = 4 (3) \frac{- 1}{8} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 7.1.5.3

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = 4 \cdot 3 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 7.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 4 \cdot 3 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 7.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$y = 3 (\frac{- 1}{2}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 7.1.6

Kombiniere $3$ und $\frac{- 1}{2}$ .

$y = \frac{3 \cdot - 1}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 7.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 3}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 7.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 7.1.9

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.1.9.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$y = - \frac{3}{2} - 27 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 7.1.9.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$y = - \frac{3}{2} - 27 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 7.1.10

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 7.1.11

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 7.1.12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = - \frac{3}{2} - 27 \frac{1}{2^{2}} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 7.1.13

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 (\frac{1}{4}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 7.1.14

Kombiniere $- 27$ und $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{3}{2} + \frac{- 27}{4} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 7.1.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 7.1.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.16.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 36 (\frac{- 1}{2}) + 8$

Schritt 7.1.16.2

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 2 (- 18) \frac{- 1}{2} + 8$

Schritt 7.1.16.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 18 \frac{- 1}{2} + 8$

Schritt 7.1.16.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 18 \cdot - 1 + 8$

Schritt 7.1.17

Mutltipliziere $- 18$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 18 + 8$

Schritt 7.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - (\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}) - \frac{27}{4} + 18 + 8$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + 18 + 8$

Schritt 7.2.3

Schreibe $18$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18}{1} + 8$

Schritt 7.2.4

Mutltipliziere $\frac{18}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18}{1} \cdot \frac{4}{4} + 8$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $\frac{18}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + 8$

Schritt 7.2.6

Schreibe $8$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8}{1}$

Schritt 7.2.7

Mutltipliziere $\frac{8}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 7.2.8

Mutltipliziere $\frac{8}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}$

Schritt 7.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}$

Schritt 7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 3 \cdot 2 - 27 + 18 \cdot 4 + 8 \cdot 4}{4}$

Schritt 7.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$y = \frac{- 6 - 27 + 18 \cdot 4 + 8 \cdot 4}{4}$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $18$ mit $4$ .

$y = \frac{- 6 - 27 + 72 + 8 \cdot 4}{4}$

Schritt 7.4.3

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$y = \frac{- 6 - 27 + 72 + 32}{4}$

Schritt 7.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.5.1

Subtrahiere $27$ von $- 6$ .

$y = \frac{- 33 + 72 + 32}{4}$

Schritt 7.5.2

Addiere $- 33$ und $72$ .

$y = \frac{39 + 32}{4}$

Schritt 7.5.3

Addiere $39$ und $32$ .

$y = \frac{71}{4}$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Entferne die Klammern.

$y = 12 \cdot 2^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Schritt 8.2

Entferne die Klammern.

$y = 12 \cdot 2^{3} - 27 \cdot 2^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Schritt 8.3

Entferne die Klammern.

$y = 12 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Schritt 8.4

Vereinfache $12 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$ .

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Schritt 8.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.4.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$y = 12 \cdot 8 - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Schritt 8.4.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $8$ .

$y = 96 - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Schritt 8.4.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = 96 - 27 \cdot 4 - 36 \cdot 2 + 8$

Schritt 8.4.1.4

Mutltipliziere $- 27$ mit $4$ .

$y = 96 - 108 - 36 \cdot 2 + 8$

Schritt 8.4.1.5

Mutltipliziere $- 36$ mit $2$ .

$y = 96 - 108 - 72 + 8$

Schritt 8.4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 8.4.2.1

Subtrahiere $108$ von $96$ .

$y = - 12 - 72 + 8$

Schritt 8.4.2.2

Subtrahiere $72$ von $- 12$ .

$y = - 84 + 8$

Schritt 8.4.2.3

Addiere $- 84$ und $8$ .

$y = - 76$

Schritt 9

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{71}{4})$

$(2, - 76)$

Schritt 10