Analysis Beispiele

$y = x^{2} + 7.5 x + 4$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} + 7.5 x + 4)$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 7.5 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7.5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7.5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [7.5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [7.5 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $7.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7.5 x$ nach $x$ gleich $7.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 7.5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 7.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $7.5$ mit $1$ .

$2 x + 7.5 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 7.5 + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $2 x + 7.5$ und $0$ .

$2 x + 7.5$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 2 x + 7.5$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + 7.5$

Schritt 6

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $7.5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 7.5$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 7.5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 7.5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7.5}{2}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7.5}{2}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 7.5}{2}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $- 7.5$ durch $2$ .

$x = - 3.75$

Schritt 7

Vereinfache ${(- 3.75)}^{2} + 7.5 (- 3.75) + 4$ .

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 3.75$ mit $2$ .

$y = 14.0625 + 7.5 (- 3.75) + 4$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $7.5$ mit $- 3.75$ .

$y = 14.0625 - 28.125 + 4$

Schritt 7.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $28.125$ von $14.0625$ .

$y = - 14.0625 + 4$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 14.0625$ und $4$ .

$y = - 10.0625$

Schritt 8

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- 3.75, - 10.0625)$

Schritt 9