Analysis Beispiele

$y = 6 x - 4 \cos (3 x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 x - 4 \cos (3 x))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - 4 \cos (3 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \cos (3 x)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$6 - 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$6 - 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$6 - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$6 - 4 (- 3 \sin (3 x))$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$6 + 12 \sin (3 x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 6 + 12 \sin (3 x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 + 12 \sin (3 x)$

Schritt 6

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 \sin (3 x) = - 6$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $12 \sin (3 x) = - 6$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $12 \sin (3 x) = - 6$ durch $12$ .

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $\sin (3 x)$ durch $1$ .

$\sin (3 x) = \frac{- 6}{12}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $12$ .

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Schritt 6.2.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6$ heraus.

$\sin (3 x) = \frac{6 (- 1)}{12}$

Schritt 6.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Schritt 6.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (3 x) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (3 x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$3 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$3 x = - \frac{π}{6}$

Schritt 6.5

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - \frac{π}{6}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - \frac{π}{6}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Schritt 6.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 6.5.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 6.5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 6}$

Schritt 6.5.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$x = - \frac{π}{18}$

Schritt 6.6

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Schritt 6.7

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.7.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Schritt 6.7.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{6}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 6.7.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{7 π}{6}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.7.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{7 π}{6}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Schritt 6.7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.7.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Schritt 6.7.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Schritt 6.7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.7.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 6.7.3.3.2

Multipliziere $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 6.7.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{6}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3}$

Schritt 6.7.3.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$x = \frac{7 π}{18}$

Schritt 6.8

Ermittele die Periode von $\sin (3 x)$ .

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Schritt 6.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.8.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Schritt 6.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 6.9

Addiere $\frac{2 π}{3}$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 6.9.1

Addiere $\frac{2 π}{3}$ zu $- \frac{π}{18}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{18} + \frac{2 π}{3}$

Schritt 6.9.2

Um $\frac{2 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{18}$

Schritt 6.9.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $18$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.9.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 π}{3}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6} - \frac{π}{18}$

Schritt 6.9.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{18} - \frac{π}{18}$

Schritt 6.9.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{18}$

Schritt 6.9.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.9.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12 π - π}{18}$

Schritt 6.9.5.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$\frac{11 π}{18}$

Schritt 6.9.6

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{11 π}{18}$

Schritt 6.10

Die Periode der Funktion $\sin (3 x)$ ist $\frac{2 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Vereinfache $6 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ .

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 6 \frac{7 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $18$ heraus.

$y = 6 \frac{7 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Schritt 7.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 6 \frac{7 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Schritt 7.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{7 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Schritt 7.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y = \frac{7 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Schritt 7.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{7 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Schritt 7.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{7 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Schritt 7.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Schritt 7.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $18$ heraus.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Schritt 7.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Schritt 7.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Schritt 7.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Schritt 7.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

Schritt 7.2

Vereinfache durch Vertauschen.

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Schritt 7.2.1

Stelle $\frac{7 π}{6}$ und $2 π n$ um.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

Schritt 7.2.2

Stelle $\frac{7 π}{3}$ und $4 π n$ um.

$y = 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

Schritt 8

Vereinfache $6 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ .

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 6 \frac{11 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Schritt 8.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 8.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $18$ heraus.

$y = 6 \frac{11 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Schritt 8.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 6 \frac{11 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Schritt 8.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{11 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Schritt 8.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y = \frac{11 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Schritt 8.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{11 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Schritt 8.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{11 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Schritt 8.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Schritt 8.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $18$ heraus.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Schritt 8.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Schritt 8.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Schritt 8.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Schritt 8.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$

Schritt 8.2

Vereinfache durch Vertauschen.

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Schritt 8.2.1

Stelle $\frac{11 π}{6}$ und $2 π n$ um.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

Schritt 8.2.2

Stelle $\frac{11 π}{3}$ und $4 π n$ um.

$y = 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

Schritt 9

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6}))$ , für jede ganze Zahl $n$

$(\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6}))$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10