Analysis Beispiele

$y = 9 x - 3 x^{2} + x^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (9 x - 3 x^{2} + x^{3})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x - 3 x^{2} + x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$9 - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$9 - 6 x + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$9 - 6 x + 3 x^{2}$

Schritt 3.4.2

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 3 x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 6

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 6 x + 9$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 (x^{2}) - 6 x + 9 = 0$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x$ heraus.

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 9 = 0$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Schritt 6.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ heraus.

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Schritt 6.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 3$ heraus.

$3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 2 x + 3$ durch $1$ .

$x^{2} - 2 x + 3 = \frac{0}{3}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Schritt 6.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Schritt 6.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.3

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Schritt 6.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Schritt 6.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.3

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Schritt 6.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{2}$

Schritt 6.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.7.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Schritt 6.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.3

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.7.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.7.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Schritt 6.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{2}$

Schritt 6.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + i \sqrt{2}, 1 - i \sqrt{2}$

Schritt 7

Berechnete $x$ -Werte können keine imaginären Komponenten enthalten.

$1 + i \sqrt{2}$ ist kein gültiger Wert für x

Schritt 8

Berechnete $x$ -Werte können keine imaginären Komponenten enthalten.

$1 - i \sqrt{2}$ ist kein gültiger Wert für x

Schritt 9

No points that set $\frac{d y}{d x} = 0$ are on the real number plane.

No Points

Schritt 10