Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} + 5 x^{2}$ , $a = - 1$

Schritt 1

Betrachte die Funktion, die verwendet wird, um die Linearisierung bei $a$ zu bestimmen.

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Schritt 2

Setze den Wert von $a = - 1$ in die Linearisierungsfunktion ein.

$L (x) = f (- 1) + f' (- 1) (x - - 1)$

Schritt 3

Berechne $f (- 1)$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 5 {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache ${(- 1)}^{4} + 5 {(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

${(- 1)}^{4} + 5 {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 + 5 {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 5 \cdot 1$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$1 + 5$

Schritt 3.2.3

Addiere $1$ und $5$ .

$6$

Schritt 4

Bestimme die Ableitung und berechne sie bei $- 1$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Ableitung von $f (x) = x^{4} + 5 x^{2}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 5 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} + 5 (2 x)$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$4 x^{3} + 10 x$

Schritt 4.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$4 {(- 1)}^{3} + 10 (- 1)$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$4 \cdot - 1 + 10 (- 1)$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 + 10 (- 1)$

Schritt 4.3.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$- 4 - 10$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $10$ von $- 4$ .

$- 14$

Schritt 5

Setze die Komponenten in die Linearisierungsfunktion ein, um die Linearisierung bei $a$ zu ermitteln.

$L (x) = 6 - 14 (x - - 1)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$L (x) = 6 - 14 x - 14 \cdot 1$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 14$ mit $1$ .

$L (x) = 6 - 14 x - 14$

Schritt 6.2

Subtrahiere $14$ von $6$ .

$L (x) = - 14 x - 8$

Schritt 7