Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} + 3 x^{2}$ , $a = 1$

Schritt 1

Betrachte die Funktion, die verwendet wird, um die Linearisierung bei $a$ zu bestimmen.

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Schritt 2

Setze den Wert von $a = 1$ in die Linearisierungsfunktion ein.

$L (x) = f (1) + f' (1) (x - 1)$

Schritt 3

Berechne $f (1)$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{4} + 3 {(1)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache ${(1)}^{4} + 3 {(1)}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

${(1)}^{4} + 3 {(1)}^{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 3 {(1)}^{2}$

Schritt 3.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 3 \cdot 1$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 + 3$

Schritt 3.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$4$

Schritt 4

Bestimme die Ableitung und berechne sie bei $1$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Ableitung von $f (x) = x^{4} + 3 x^{2}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 3 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} + 3 (2 x)$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$4 x^{3} + 6 x$

Schritt 4.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$4 {(1)}^{3} + 6 (1)$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \cdot 1 + 6 (1)$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + 6 (1)$

Schritt 4.3.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$4 + 6$

Schritt 4.3.2

Addiere $4$ und $6$ .

$10$

Schritt 5

Setze die Komponenten in die Linearisierungsfunktion ein, um die Linearisierung bei $a$ zu ermitteln.

$L (x) = 4 + 10 (x - 1)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$L (x) = 4 + 10 x + 10 \cdot - 1$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$L (x) = 4 + 10 x - 10$

Schritt 6.2

Subtrahiere $10$ von $4$ .

$L (x) = 10 x - 6$

Schritt 7