Analysis Beispiele

$f (x) = 12 x^{2} + 8 x$ , $x = 9$

Schritt 1

Betrachte die Funktion, die verwendet wird, um die Linearisierung bei $a$ zu bestimmen.

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Schritt 2

Setze den Wert von $a = 9$ in die Linearisierungsfunktion ein.

$L (x) = f (9) + f' (9) (x - 9)$

Schritt 3

Berechne $f (9)$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$f (9) = 12 {(9)}^{2} + 8 (9)$

Schritt 3.2

Vereinfache $12 {(9)}^{2} + 8 (9)$ .

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$12 {(9)}^{2} + 8 (9)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$12 \cdot 81 + 8 (9)$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $81$ .

$972 + 8 (9)$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $9$ .

$972 + 72$

Schritt 3.2.3

Addiere $972$ und $72$ .

$1044$

Schritt 4

Bestimme die Ableitung und berechne sie bei $9$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Ableitung von $f (x) = 12 x^{2} + 8 x$ .

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{2} + 8 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{2}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x + 8 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$24 x + 8 \cdot 1$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$24 x + 8$

Schritt 4.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$24 (9) + 8$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $24$ mit $9$ .

$216 + 8$

Schritt 4.3.2

Addiere $216$ und $8$ .

$224$

Schritt 5

Setze die Komponenten in die Linearisierungsfunktion ein, um die Linearisierung bei $a$ zu ermitteln.

$L (x) = 1044 + 224 (x - 9)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$L (x) = 1044 + 224 x + 224 \cdot - 9$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $224$ mit $- 9$ .

$L (x) = 1044 + 224 x - 2016$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2016$ von $1044$ .

$L (x) = 224 x - 972$

Schritt 7