Analysis Beispiele

$f (x) = 1 + 3 x^{3} - x^{5}$

Schritt 1

Ermittle $f (- x)$ .

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Schritt 1.1

Ermittle $f (- x)$ durch Einsetzen von $- x$ in $f (x)$ für jedes $x$ .

$f (- x) = 1 + 3 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{5}$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = 1 + 3 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - {(- x)}^{5}$

Schritt 1.2.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- x) = 1 + 3 (- x^{3}) - {(- x)}^{5}$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- x) = 1 - 3 x^{3} - {(- x)}^{5}$

Schritt 1.2.4

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = 1 - 3 x^{3} - ({(- 1)}^{5} x^{5})$

Schritt 1.2.5

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.5.1

Bewege ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- x) = 1 - 3 x^{3} + {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 x^{5})$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{5}$ mit $- 1$ .

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Schritt 1.2.5.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- x) = 1 - 3 x^{3} + {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) x^{5})$

Schritt 1.2.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- x) = 1 - 3 x^{3} + {(- 1)}^{5 + 1} x^{5}$

Schritt 1.2.5.3

Addiere $5$ und $1$ .

$f (- x) = 1 - 3 x^{3} + {(- 1)}^{6} x^{5}$

Schritt 1.2.6

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$f (- x) = 1 - 3 x^{3} + 1 x^{5}$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $x^{5}$ mit $1$ .

$f (- x) = 1 - 3 x^{3} + x^{5}$

Schritt 2

Eine Funktion ist gerade, wenn $f (- x) = f (x)$ .

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Schritt 2.1

Prüfe, ob $f (- x) = f (x)$ .

Schritt 2.2

Da $1 - 3 x^{3} + x^{5}$ $\neq$ $1 + 3 x^{3} - x^{5}$ , ist die Funktion nicht gerade.

Die Funktion ist nicht gerade

Schritt 3

Eine Funktion ist ungerade, wenn $f (- x) = - f (x)$ .

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Schritt 3.1

Ermittle $- f (x)$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $1 + 3 x^{3} - x^{5}$ mit $- 1$ .

$- f (x) = - (1 + 3 x^{3} - x^{5})$

Schritt 3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- f (x) = - 1 \cdot 1 - (3 x^{3}) + x^{5}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- f (x) = - 1 - (3 x^{3}) + x^{5}$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- f (x) = - 1 - 3 x^{3} + x^{5}$

Schritt 3.1.3.3

Multipliziere $- - x^{5}$ .

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Schritt 3.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- f (x) = - 1 - 3 x^{3} + 1 x^{5}$

Schritt 3.1.3.3.2

Mutltipliziere $x^{5}$ mit $1$ .

$- f (x) = - 1 - 3 x^{3} + x^{5}$

Schritt 3.2

Da $1 - 3 x^{3} + x^{5}$ $\neq$ $- 1 - 3 x^{3} + x^{5}$ , ist die Funktion nicht ungerade.

Die Funktion ist nicht ungerade

Schritt 4

Die Funktion ist weder ungerade noch gerade

Schritt 5