Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ , $a = 2$

Schritt 1

Betrachte die Funktion, die verwendet wird, um die Linearisierung bei $a$ zu bestimmen.

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Schritt 2

Setze den Wert von $a = 2$ in die Linearisierungsfunktion ein.

$L (x) = f (2) + f' (2) (x - 2)$

Schritt 3

Berechne $f (2)$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

Schritt 3.2

Vereinfache $\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$ .

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 + 21}$

Schritt 3.2.3

Addiere $4$ und $21$ .

$\sqrt{25}$

Schritt 3.2.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\sqrt{5^{2}}$

Schritt 3.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$5$

Schritt 4

Bestimme die Ableitung und berechne sie bei $2$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Ableitung von $f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ .

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 21}$ als ${(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 21$ .

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Schritt 4.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 21$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Schritt 4.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 21$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Schritt 4.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Schritt 4.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Schritt 4.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Schritt 4.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Schritt 4.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Schritt 4.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Schritt 4.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Schritt 4.1.7.3

Bringe ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Schritt 4.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 21$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21])$

Schritt 4.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [21])$

Schritt 4.1.10

Da $21$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $21$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Schritt 4.1.11

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Schritt 4.1.11.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 4.1.11.3

Kombiniere $\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.11.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$\frac{2}{{({(2)}^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2}{{(4 + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.2

Addiere $4$ und $21$ .

$\frac{2}{25^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.3

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{2}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 4.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{5^{1}}$

Schritt 4.3.6

Berechne den Exponenten.

$\frac{2}{5}$

Schritt 5

Setze die Komponenten in die Linearisierungsfunktion ein, um die Linearisierung bei $a$ zu ermitteln.

$L (x) = 5 + \frac{2}{5} (x - 2)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$L (x) = 5 + \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Schritt 6.1.2

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Schritt 6.1.3

Multipliziere $\frac{2}{5} \cdot - 2$ .

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Schritt 6.1.3.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $- 2$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 2}{5}$

Schritt 6.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{- 4}{5}$

Schritt 6.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5}$

Schritt 6.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Schritt 6.3

Kombiniere $5$ und $\frac{5}{5}$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

Schritt 6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{5 \cdot 5 - 4}{5}$

Schritt 6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{25 - 4}{5}$

Schritt 6.5.2

Subtrahiere $4$ von $25$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{21}{5}$

Schritt 7