Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x + 7$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$

Schritt 2

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{3}}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 3.2.5.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.4.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $x^{2} - 2$ und $0$ .

$x^{2} - 2$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{2} - 2 = 0$ .

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Schritt 4.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2$

Schritt 4.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 4.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 4.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ bei $x = \sqrt{2}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{{(\sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{8}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Schritt 5.2.1.3

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{4 (2)}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Schritt 5.2.1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Schritt 5.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Schritt 5.2.2

Um $- 2 \sqrt{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + 7$

Schritt 5.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $- 2 \sqrt{2}$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

Schritt 5.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2}}{3} + 7$

Schritt 5.2.4.1.2

Subtrahiere $6 \sqrt{2}$ von $2 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{- 4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Schritt 5.2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\sqrt{2}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Schritt 6

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ bei $x = - \sqrt{2}$ .

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Schritt 6.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Schritt 6.2.1.1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Schritt 6.2.1.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{8}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Schritt 6.2.1.1.5

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.2.1.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{4 (2)}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Schritt 6.2.1.1.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Schritt 6.2.1.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 1 \cdot (2 \sqrt{2})}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Schritt 6.2.1.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Schritt 6.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 \sqrt{2} + 7$

Schritt 6.2.2

Um $2 \sqrt{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + 7$

Schritt 6.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.3.1

Kombiniere $2 \sqrt{2}$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

Schritt 6.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}}{3} + 7$

Schritt 6.2.4.2

Addiere $- 2 \sqrt{2}$ und $6 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Schritt 7

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ sind $y = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7, y = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ .

$y = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7, y = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Schritt 8