Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{2} x^{2} + 7 x$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 7 x$

Schritt 2

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 7 x$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2} + 7 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 3.2.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x + 7 \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$x + 7$

Schritt 4

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 7 x$ bei $x = - 7$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 7$ .

$f (- 7) = \frac{{(- 7)}^{2}}{2} + 7 (- 7)$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$f (- 7) = \frac{49}{2} + 7 (- 7)$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 7$ .

$f (- 7) = \frac{49}{2} - 49$

Schritt 5.2.2

Um $- 49$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 7) = \frac{49}{2} - 49 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $- 49$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (- 7) = \frac{49}{2} + \frac{- 49 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 7) = \frac{49 - 49 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.5.1

Mutltipliziere $- 49$ mit $2$ .

$f (- 7) = \frac{49 - 98}{2}$

Schritt 5.2.5.2

Subtrahiere $98$ von $49$ .

$f (- 7) = \frac{- 49}{2}$

Schritt 5.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 7) = - \frac{49}{2}$

Schritt 5.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{49}{2}$ .

$- \frac{49}{2}$

Schritt 6

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 7 x$ ist $y = - \frac{49}{2}$ .

$y = - \frac{49}{2}$

Schritt 7