Analysis Beispiele

$y = \frac{x}{x - 3}$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = \frac{x}{x - 3}$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $x - 3$ mit $1$ .

$\frac{x - 3 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x - 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x - 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x - 3 - x (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x - 3 - x \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - 3 - x}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.6.4.1

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$\frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze den Zähler gleich Null.

$3 = 0$

Schritt 3.2

Da $3 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 4

Das Gleichsetzen der Ableitung mit $0$ , $- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ , ergibt keine Lösungen, folglich gibt es keine horizontalen Tangenten.

Keine horizontalen Tangenten gefunden

Schritt 5