Analysis Beispiele

$y = \sqrt[4]{x}$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = \sqrt[4]{x}$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 3.2

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 4

Das Gleichsetzen der Ableitung mit $0$ , $\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}} = 0$ , ergibt keine Lösungen, folglich gibt es keine horizontalen Tangenten.

Keine horizontalen Tangenten gefunden

Schritt 5