Analysis Beispiele

$y = x^{3} - 3 x + 1$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 3 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 3 + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $3 x^{2} - 3$ und $0$ .

$3 x^{2} - 3$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 3 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = 3$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 3$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 3$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{3}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Dividiere $3$ durch $3$ .

$x^{2} = 1$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 3.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ bei $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{3} - 3 \cdot 1 + 1$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1 + 1$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f (1) = 1 - 3 + 1$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f (1) = - 2 + 1$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $- 2$ und $1$ .

$f (1) = - 1$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ bei $x = - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 + 1$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- 1) = - 1 - 3 \cdot - 1 + 1$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + 3 + 1$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 1$ und $3$ .

$f (- 1) = 2 + 1$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f (- 1) = 3$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 6

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ sind $y = - 1, y = 3$ .

$y = - 1, y = 3$

Schritt 7