Analysis Beispiele

$y = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $3 x^{2} - 10 x + 3$ und $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9$ und deren Summe gleich $b = - 10$ ist.

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 x$ heraus.

$3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$

Schritt 3.1.1.2

Schreibe $- 10$ um als $- 1$ plus $- 9$

$3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3 = 0$

Schritt 3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3 = 0$

Schritt 3.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3 = 0$

Schritt 3.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1) = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 3) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 3.3

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 3.3.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.4

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 1) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{3}, 3$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ bei $x = \frac{1}{3}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Schritt 4.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Schritt 4.2.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Schritt 4.2.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Schritt 4.2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 \frac{1}{3^{2}} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Schritt 4.2.1.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 (\frac{1}{9}) + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Schritt 4.2.1.7

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Schritt 4.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Schritt 4.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Schritt 4.2.1.9.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 1 + 1$

Schritt 4.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{5}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 1 + 1$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{5}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 1 + 1$

Schritt 4.2.2.3

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} + 1$

Schritt 4.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27} + 1$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + 1$

Schritt 4.2.2.6

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1}$

Schritt 4.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Schritt 4.2.2.8

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Schritt 4.2.2.9

Stelle die Faktoren von $9 \cdot 3$ um.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Schritt 4.2.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{27} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 5 \cdot 3 + 27 + 27}{27}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 15 + 27 + 27}{27}$

Schritt 4.2.4.2

Subtrahiere $15$ von $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 14 + 27 + 27}{27}$

Schritt 4.2.4.3

Addiere $- 14$ und $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{13 + 27}{27}$

Schritt 4.2.4.4

Addiere $13$ und $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{40}{27}$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{40}{27}$ .

$\frac{40}{27}$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ bei $x = 3$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = {(3)}^{3} - 5 {(3)}^{2} + 3 (3) + 1$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (3) = 27 - 5 {(3)}^{2} + 3 (3) + 1$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = 27 - 5 \cdot 9 + 3 (3) + 1$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $9$ .

$f (3) = 27 - 45 + 3 (3) + 1$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (3) = 27 - 45 + 9 + 1$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $45$ von $27$ .

$f (3) = - 18 + 9 + 1$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 18$ und $9$ .

$f (3) = - 9 + 1$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $- 9$ und $1$ .

$f (3) = - 8$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 8$ .

$- 8$

Schritt 6

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ sind $y = \frac{40}{27}, y = - 8$ .

$y = \frac{40}{27}, y = - 8$

Schritt 7