Analysis Beispiele

$y = x^{3} - 4 x$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = x^{3} - 4 x$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 4 \cdot 1$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 4$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 4 = 0$ .

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Schritt 3.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = 4$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Schritt 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 3.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ als $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 3.4.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 3.4.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 3.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 3.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} - 4 x$ bei $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ an.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{3}$ an.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.2.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.1.2.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.1.2.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{27}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.1.2.4

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.2.1.2.4.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.1.2.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.1.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \cdot (3 \sqrt{3})}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.1.2.6

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{24 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{24 \sqrt{3}}{27} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $27$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $24 \sqrt{3}$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (8 \sqrt{3})}{27} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 (9)} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.1.5

Multipliziere $- 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 4.2.1.5.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 4 (2 \sqrt{3})}{3}$

Schritt 4.2.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.2

Um $- \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 4.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3}}{9}$

Schritt 4.2.5.2

Subtrahiere $24 \sqrt{3}$ von $8 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3}}{9}$

Schritt 4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Schritt 4.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

$- \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} - 4 x$ bei $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 5.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{3}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 5.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.3.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 5.2.1.3.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 5.2.1.3.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{27}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 5.2.1.3.4

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.2.1.3.4.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 5.2.1.3.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 5.2.1.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \cdot (3 \sqrt{3})}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 5.2.1.3.6

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{24 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 5.2.1.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{24 \sqrt{3}}{27} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $27$ .

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Schritt 5.2.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $24 \sqrt{3}$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (8 \sqrt{3})}{27} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 5.2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 (9)} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 5.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 5.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 5.2.1.6

Multipliziere $- 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

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Schritt 5.2.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + 4 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 5.2.1.6.2

Kombiniere $4$ und $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 (2 \sqrt{3})}{3}$

Schritt 5.2.1.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.2

Um $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Schritt 5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3}}{9}$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $- 8 \sqrt{3}$ und $24 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Schritt 5.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

$\frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Schritt 6

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = x^{3} - 4 x$ sind $y = - \frac{16 \sqrt{3}}{9}, y = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{16 \sqrt{3}}{9}, y = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Schritt 7