Analysis Beispiele

$y = x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 8 x + 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 8 x + 1 + 0$

Schritt 2.3.3

Addiere $3 x^{2} - 8 x + 1$ und $0$ .

$3 x^{2} - 8 x + 1$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 8 x + 1 = 0$ .

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Schritt 3.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.2

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 8$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.3

Subtrahiere $12$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.4

Schreibe $52$ als $2^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 3.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $52$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{13}}{3}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Schritt 3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.4.1.3

Subtrahiere $12$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.4.1.4

Schreibe $52$ als $2^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 3.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $52$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{13}}{3}$

Schritt 3.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{4 + \sqrt{13}}{3}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Schritt 3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.3

Subtrahiere $12$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.4

Schreibe $52$ als $2^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 3.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $52$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{13}}{3}$

Schritt 3.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{4 - \sqrt{13}}{3}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{4 + \sqrt{13}}{3}, \frac{4 - \sqrt{13}}{3}$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$ bei $x = \frac{4 + \sqrt{13}}{3}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{4 + \sqrt{13}}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} + \frac{4 + \sqrt{13}}{3} + 2$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Entferne die Klammern.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} + \frac{4 + \sqrt{13}}{3} + 2$

Schritt 4.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe ${(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3}}{1} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} + \frac{4 + \sqrt{13}}{3} + 2$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3}}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3}}{1} \cdot \frac{3}{3} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} + \frac{4 + \sqrt{13}}{3} + 2$

Schritt 4.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3}}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} + \frac{4 + \sqrt{13}}{3} + 2$

Schritt 4.2.2.4

Schreibe $- 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2}}{1} + \frac{4 + \sqrt{13}}{3} + 2$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2}}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 + \sqrt{13}}{3} + 2$

Schritt 4.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2}}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4 + \sqrt{13}}{3} + 2$

Schritt 4.2.2.7

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4 + \sqrt{13}}{3} + \frac{2}{1}$

Schritt 4.2.2.8

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4 + \sqrt{13}}{3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 4.2.2.9

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4 + \sqrt{13}}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4 + \sqrt{13}}{3}$ an.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{{(4 + \sqrt{13})}^{3}}{3^{3}} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{{(4 + \sqrt{13})}^{3}}{27} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{{(4 + \sqrt{13})}^{3}}{3 (9)} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{{(4 + \sqrt{13})}^{3}}{3 \cdot 9} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{{(4 + \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.4

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{4^{3} + 3 \cdot (4^{2} \sqrt{13}) + 3 \cdot (4 {\sqrt{13}}^{2}) + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.5.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 3 \cdot (4^{2} \sqrt{13}) + 3 \cdot (4 {\sqrt{13}}^{2}) + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.5.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 3 \cdot (16 \sqrt{13}) + 3 \cdot (4 {\sqrt{13}}^{2}) + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 3 \cdot (4 {\sqrt{13}}^{2}) + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 12 {\sqrt{13}}^{2} + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.5.5

Schreibe ${\sqrt{13}}^{2}$ als $13$ um.

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Schritt 4.2.4.5.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{13}$ als $13^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 12 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.5.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 12 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.5.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 12 \cdot 13^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.5.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.5.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 12 \cdot 13^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.5.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 12 \cdot 13 + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.5.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 12 \cdot 13 + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.5.6

Mutltipliziere $12$ mit $13$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 156 + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.5.7

Schreibe ${\sqrt{13}}^{3}$ als $\sqrt{13^{3}}$ um.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 156 + \sqrt{13^{3}}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.5.8

Potenziere $13$ mit $3$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 156 + \sqrt{2197}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.5.9

Schreibe $2197$ als $13^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 4.2.4.5.9.1

Faktorisiere $169$ aus $2197$ heraus.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 156 + \sqrt{169 (13)}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.5.9.2

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 156 + \sqrt{13^{2} \cdot 13}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.5.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 156 + 13 \sqrt{13}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.6

Addiere $64$ und $156$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 48 \sqrt{13} + 13 \sqrt{13}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.7

Addiere $48 \sqrt{13}$ und $13 \sqrt{13}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.8

Wende die Produktregel auf $\frac{4 + \sqrt{13}}{3}$ an.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{{(4 + \sqrt{13})}^{2}}{3^{2}} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.9

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{{(4 + \sqrt{13})}^{2}}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.10

Schreibe ${(4 + \sqrt{13})}^{2}$ als $(4 + \sqrt{13}) (4 + \sqrt{13})$ um.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{(4 + \sqrt{13}) (4 + \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.11

Multipliziere $(4 + \sqrt{13}) (4 + \sqrt{13})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{4 (4 + \sqrt{13}) + \sqrt{13} (4 + \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{13} + \sqrt{13} (4 + \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{13} + \sqrt{13} \cdot 4 + \sqrt{13} \sqrt{13}}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.4.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.12.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{13} + \sqrt{13} \cdot 4 + \sqrt{13} \sqrt{13}}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.12.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sqrt{13}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{13} + 4 \cdot \sqrt{13} + \sqrt{13} \sqrt{13}}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.12.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13} + \sqrt{13 \cdot 13}}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.12.1.4

Mutltipliziere $13$ mit $13$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13} + \sqrt{169}}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.12.1.5

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13} + \sqrt{13^{2}}}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.12.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13} + 13}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.12.2

Addiere $16$ und $13$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{29 + 4 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13}}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.12.3

Addiere $4 \sqrt{13}$ und $4 \sqrt{13}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{29 + 8 \sqrt{13}}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.13

Kombiniere $- 4$ und $\frac{29 + 8 \sqrt{13}}{9}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} + \frac{- 4 (29 + 8 \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.4.14.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} + \frac{- 4 (29 + 8 \sqrt{13})}{3 (3)} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} + \frac{- 4 (29 + 8 \sqrt{13})}{3 \cdot 3} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.14.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} + \frac{- 4 (29 + 8 \sqrt{13})}{3} + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - \frac{(4) (29 + 8 \sqrt{13})}{3} + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.4.16

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - \frac{4 (29 + 8 \sqrt{13})}{3} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 4.2.5

Um $- \frac{4 (29 + 8 \sqrt{13})}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - \frac{4 (29 + 8 \sqrt{13})}{3} \cdot \frac{3}{3} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 4.2.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{4 (29 + 8 \sqrt{13})}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - \frac{4 (29 + 8 \sqrt{13}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 4.2.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - \frac{4 (29 + 8 \sqrt{13}) \cdot 3}{9} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 4.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13} - 4 (29 + 8 \sqrt{13}) \cdot 3}{9} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 4.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13} + (- 4 \cdot 29 - 4 (8 \sqrt{13})) \cdot 3}{9} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 4.2.8.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $29$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13} + (- 116 - 4 (8 \sqrt{13})) \cdot 3}{9} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 4.2.8.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 4$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13} + (- 116 - 32 \sqrt{13}) \cdot 3}{9} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 4.2.8.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13} - 116 \cdot 3 - 32 \sqrt{13} \cdot 3}{9} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 4.2.8.5

Mutltipliziere $- 116$ mit $3$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13} - 348 - 32 \sqrt{13} \cdot 3}{9} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 4.2.8.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 32$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13} - 348 - 96 \sqrt{13}}{9} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 4.2.8.7

Subtrahiere $348$ von $220$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 + 61 \sqrt{13} - 96 \sqrt{13}}{9} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 4.2.8.8

Subtrahiere $96 \sqrt{13}$ von $61 \sqrt{13}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 - 35 \sqrt{13}}{9} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 4.2.9

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 - 35 \sqrt{13}}{9} + 4 \cdot \frac{9}{9} + \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 4.2.10

Kombiniere $4$ und $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 - 35 \sqrt{13}}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9} + \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 4.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.11.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 - 35 \sqrt{13} + 4 \cdot 9}{9} + \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 4.2.11.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 - 35 \sqrt{13} + 36}{9} + \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 4.2.11.3

Addiere $- 128$ und $36$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 - 35 \sqrt{13}}{9} + \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 4.2.12

Um $\sqrt{13}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 - 35 \sqrt{13}}{9} + \sqrt{13} \cdot \frac{9}{9} + 6}{3}$

Schritt 4.2.13

Kombiniere $\sqrt{13}$ und $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 - 35 \sqrt{13}}{9} + \frac{\sqrt{13} \cdot 9}{9} + 6}{3}$

Schritt 4.2.14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.14.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 - 35 \sqrt{13} + \sqrt{13} \cdot 9}{9} + 6}{3}$

Schritt 4.2.14.2

Stelle die Faktoren von $\sqrt{13} \cdot 9$ um.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 - 35 \sqrt{13} + 9 \sqrt{13}}{9} + 6}{3}$

Schritt 4.2.15

Addiere $- 35 \sqrt{13}$ und $9 \sqrt{13}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 - 26 \sqrt{13}}{9} + 6}{3}$

Schritt 4.2.16

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 - 26 \sqrt{13}}{9} + 6 \cdot \frac{9}{9}}{3}$

Schritt 4.2.17

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.17.1

Kombiniere $6$ und $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 - 26 \sqrt{13}}{9} + \frac{6 \cdot 9}{9}}{3}$

Schritt 4.2.17.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 - 26 \sqrt{13} + 6 \cdot 9}{9}}{3}$

Schritt 4.2.18

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.18.1

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 - 26 \sqrt{13} + 54}{9}}{3}$

Schritt 4.2.18.2

Addiere $- 92$ und $54$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 38 - 26 \sqrt{13}}{9}}{3}$

Schritt 4.2.19

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.2.19.1

Schreibe $- 38$ als $- 1 (38)$ um.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 38 - 26 \sqrt{13}}{9}}{3}$

Schritt 4.2.19.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 26 \sqrt{13}$ heraus.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 38 - (26 \sqrt{13})}{9}}{3}$

Schritt 4.2.19.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (38) - (26 \sqrt{13})$ heraus.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 1 (38 + 26 \sqrt{13})}{9}}{3}$

Schritt 4.2.19.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{- \frac{38 + 26 \sqrt{13}}{9}}{3}$

Schritt 4.2.20

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = - \frac{38 + 26 \sqrt{13}}{9} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 4.2.21

Multipliziere $- \frac{38 + 26 \sqrt{13}}{9} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 4.2.21.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{38 + 26 \sqrt{13}}{9}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = - \frac{38 + 26 \sqrt{13}}{3 \cdot 9}$

Schritt 4.2.21.2

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = - \frac{38 + 26 \sqrt{13}}{27}$

Schritt 4.2.22

Die endgültige Lösung ist $- \frac{38 + 26 \sqrt{13}}{27}$ .

$- \frac{38 + 26 \sqrt{13}}{27}$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$ bei $x = \frac{4 - \sqrt{13}}{3}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{4 - \sqrt{13}}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} + \frac{4 - \sqrt{13}}{3} + 2$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Entferne die Klammern.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} + \frac{4 - \sqrt{13}}{3} + 2$

Schritt 5.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe ${(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3}}{1} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} + \frac{4 - \sqrt{13}}{3} + 2$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3}}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3}}{1} \cdot \frac{3}{3} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} + \frac{4 - \sqrt{13}}{3} + 2$

Schritt 5.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3}}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} + \frac{4 - \sqrt{13}}{3} + 2$

Schritt 5.2.2.4

Schreibe $- 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2}}{1} + \frac{4 - \sqrt{13}}{3} + 2$

Schritt 5.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2}}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 - \sqrt{13}}{3} + 2$

Schritt 5.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2}}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4 - \sqrt{13}}{3} + 2$

Schritt 5.2.2.7

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4 - \sqrt{13}}{3} + \frac{2}{1}$

Schritt 5.2.2.8

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4 - \sqrt{13}}{3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.2.2.9

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4 - \sqrt{13}}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4 - \sqrt{13}}{3}$ an.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{{(4 - \sqrt{13})}^{3}}{3^{3}} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{{(4 - \sqrt{13})}^{3}}{27} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{{(4 - \sqrt{13})}^{3}}{3 (9)} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{{(4 - \sqrt{13})}^{3}}{3 \cdot 9} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{{(4 - \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.4

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{4^{3} + 3 \cdot (4^{2} (- \sqrt{13})) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{13})}^{2}) + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.5.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 3 \cdot (4^{2} (- \sqrt{13})) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{13})}^{2}) + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 3 \cdot (16 (- \sqrt{13})) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{13})}^{2}) + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 (- \sqrt{13}) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{13})}^{2}) + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $48$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{13})}^{2}) + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5.5

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 12 {(- \sqrt{13})}^{2} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5.6

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{13}$ an.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{13}}^{2}) + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 12 (1 {\sqrt{13}}^{2}) + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5.8

Mutltipliziere ${\sqrt{13}}^{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 12 {\sqrt{13}}^{2} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5.9

Schreibe ${\sqrt{13}}^{2}$ als $13$ um.

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Schritt 5.2.4.5.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{13}$ als $13^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 12 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 12 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 12 \cdot 13^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.5.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 12 \cdot 13^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 12 \cdot 13 + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5.9.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 12 \cdot 13 + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5.10

Mutltipliziere $12$ mit $13$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 156 + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5.11

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{13}$ an.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 156 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5.12

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 156 - {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5.13

Schreibe ${\sqrt{13}}^{3}$ als $\sqrt{13^{3}}$ um.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 156 - \sqrt{13^{3}}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5.14

Potenziere $13$ mit $3$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 156 - \sqrt{2197}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5.15

Schreibe $2197$ als $13^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 5.2.4.5.15.1

Faktorisiere $169$ aus $2197$ heraus.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 156 - \sqrt{169 (13)}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5.15.2

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 156 - \sqrt{13^{2} \cdot 13}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 156 - (13 \sqrt{13})}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.5.17

Mutltipliziere $13$ mit $- 1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 156 - 13 \sqrt{13}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.6

Addiere $64$ und $156$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 48 \sqrt{13} - 13 \sqrt{13}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.7

Subtrahiere $13 \sqrt{13}$ von $- 48 \sqrt{13}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.8

Wende die Produktregel auf $\frac{4 - \sqrt{13}}{3}$ an.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{{(4 - \sqrt{13})}^{2}}{3^{2}} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.9

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{{(4 - \sqrt{13})}^{2}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.10

Schreibe ${(4 - \sqrt{13})}^{2}$ als $(4 - \sqrt{13}) (4 - \sqrt{13})$ um.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{(4 - \sqrt{13}) (4 - \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.11

Multipliziere $(4 - \sqrt{13}) (4 - \sqrt{13})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.4.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{4 (4 - \sqrt{13}) - \sqrt{13} (4 - \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{13}) - \sqrt{13} (4 - \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{13}) - \sqrt{13} \cdot 4 - \sqrt{13} (- \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.4.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.12.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 + 4 (- \sqrt{13}) - \sqrt{13} \cdot 4 - \sqrt{13} (- \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.12.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - \sqrt{13} \cdot 4 - \sqrt{13} (- \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.12.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} - \sqrt{13} (- \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.12.1.4

Multipliziere $- \sqrt{13} (- \sqrt{13})$ .

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Schritt 5.2.4.12.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + 1 \sqrt{13} \sqrt{13}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.12.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + \sqrt{13} \sqrt{13}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.12.1.4.3

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + \sqrt{13} \sqrt{13}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.12.1.4.4

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + \sqrt{13} \sqrt{13}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.12.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + {\sqrt{13}}^{1 + 1}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.12.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + {\sqrt{13}}^{2}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.12.1.5

Schreibe ${\sqrt{13}}^{2}$ als $13$ um.

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Schritt 5.2.4.12.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{13}$ als $13^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.12.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.12.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + 13^{\frac{2}{2}}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.12.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.12.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + 13^{\frac{2}{2}}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.12.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + 13}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.12.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + 13}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.12.2

Addiere $16$ und $13$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{29 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.12.3

Subtrahiere $4 \sqrt{13}$ von $- 4 \sqrt{13}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{29 - 8 \sqrt{13}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.13

Kombiniere $- 4$ und $\frac{29 - 8 \sqrt{13}}{9}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} + \frac{- 4 (29 - 8 \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.4.14.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} + \frac{- 4 (29 - 8 \sqrt{13})}{3 (3)} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} + \frac{- 4 (29 - 8 \sqrt{13})}{3 \cdot 3} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.14.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} + \frac{- 4 (29 - 8 \sqrt{13})}{3} + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - \frac{(4) (29 - 8 \sqrt{13})}{3} + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.16

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - \frac{4 (29 - 8 \sqrt{13})}{3} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 5.2.5

Um $- \frac{4 (29 - 8 \sqrt{13})}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - \frac{4 (29 - 8 \sqrt{13})}{3} \cdot \frac{3}{3} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 5.2.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{4 (29 - 8 \sqrt{13})}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - \frac{4 (29 - 8 \sqrt{13}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 5.2.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - \frac{4 (29 - 8 \sqrt{13}) \cdot 3}{9} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 5.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13} - 4 (29 - 8 \sqrt{13}) \cdot 3}{9} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 5.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13} + (- 4 \cdot 29 - 4 (- 8 \sqrt{13})) \cdot 3}{9} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 5.2.8.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $29$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13} + (- 116 - 4 (- 8 \sqrt{13})) \cdot 3}{9} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 5.2.8.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 4$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13} + (- 116 + 32 \sqrt{13}) \cdot 3}{9} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 5.2.8.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13} - 116 \cdot 3 + 32 \sqrt{13} \cdot 3}{9} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 5.2.8.5

Mutltipliziere $- 116$ mit $3$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13} - 348 + 32 \sqrt{13} \cdot 3}{9} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 5.2.8.6

Mutltipliziere $3$ mit $32$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13} - 348 + 96 \sqrt{13}}{9} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 5.2.8.7

Subtrahiere $348$ von $220$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 - 61 \sqrt{13} + 96 \sqrt{13}}{9} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 5.2.8.8

Addiere $- 61 \sqrt{13}$ und $96 \sqrt{13}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 + 35 \sqrt{13}}{9} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 5.2.9

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 + 35 \sqrt{13}}{9} + 4 \cdot \frac{9}{9} - \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 5.2.10

Kombiniere $4$ und $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 + 35 \sqrt{13}}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9} - \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 5.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.11.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 + 35 \sqrt{13} + 4 \cdot 9}{9} - \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 5.2.11.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 + 35 \sqrt{13} + 36}{9} - \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 5.2.11.3

Addiere $- 128$ und $36$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 + 35 \sqrt{13}}{9} - \sqrt{13} + 6}{3}$

Schritt 5.2.12

Um $- \sqrt{13}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 + 35 \sqrt{13}}{9} - \sqrt{13} \cdot \frac{9}{9} + 6}{3}$

Schritt 5.2.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.13.1

Kombiniere $- \sqrt{13}$ und $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 + 35 \sqrt{13}}{9} + \frac{- \sqrt{13} \cdot 9}{9} + 6}{3}$

Schritt 5.2.13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 + 35 \sqrt{13} - \sqrt{13} \cdot 9}{9} + 6}{3}$

Schritt 5.2.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.14.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 + 35 \sqrt{13} - 9 \sqrt{13}}{9} + 6}{3}$

Schritt 5.2.14.2

Subtrahiere $9 \sqrt{13}$ von $35 \sqrt{13}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 + 26 \sqrt{13}}{9} + 6}{3}$

Schritt 5.2.15

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 + 26 \sqrt{13}}{9} + 6 \cdot \frac{9}{9}}{3}$

Schritt 5.2.16

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.16.1

Kombiniere $6$ und $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 + 26 \sqrt{13}}{9} + \frac{6 \cdot 9}{9}}{3}$

Schritt 5.2.16.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 + 26 \sqrt{13} + 6 \cdot 9}{9}}{3}$

Schritt 5.2.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.17.1

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 + 26 \sqrt{13} + 54}{9}}{3}$

Schritt 5.2.17.2

Addiere $- 92$ und $54$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 38 + 26 \sqrt{13}}{9}}{3}$

Schritt 5.2.18

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.2.18.1

Schreibe $- 38$ als $- 1 (38)$ um.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 38 + 26 \sqrt{13}}{9}}{3}$

Schritt 5.2.18.2

Faktorisiere $- 1$ aus $26 \sqrt{13}$ heraus.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 38 - (- 26 \sqrt{13})}{9}}{3}$

Schritt 5.2.18.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (38) - (- 26 \sqrt{13})$ heraus.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 1 (38 - 26 \sqrt{13})}{9}}{3}$

Schritt 5.2.18.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{- \frac{38 - 26 \sqrt{13}}{9}}{3}$

Schritt 5.2.19

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = - \frac{38 - 26 \sqrt{13}}{9} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.20

Multipliziere $- \frac{38 - 26 \sqrt{13}}{9} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 5.2.20.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{38 - 26 \sqrt{13}}{9}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = - \frac{38 - 26 \sqrt{13}}{3 \cdot 9}$

Schritt 5.2.20.2

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = - \frac{38 - 26 \sqrt{13}}{27}$

Schritt 5.2.21

Die endgültige Lösung ist $- \frac{38 - 26 \sqrt{13}}{27}$ .

$- \frac{38 - 26 \sqrt{13}}{27}$

Schritt 6

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$ sind $y = - \frac{38 + 26 \sqrt{13}}{27}, y = - \frac{38 - 26 \sqrt{13}}{27}$ .

$y = - \frac{38 + 26 \sqrt{13}}{27}, y = - \frac{38 - 26 \sqrt{13}}{27}$

Schritt 7