Analysis Beispiele

$y = x^{3} + 3$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = x^{3} + 3$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 2.4

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2}$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} = 0$ .

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 3.1.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{3}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} + 3$ bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{3} + 3$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 3$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $3$ .

$f (0) = 3$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 5

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = x^{3} + 3$ ist $y = 3$ .

$y = 3$

Schritt 6