Analysis Beispiele

$f (x) = x \sin (x)$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$x \cos (x) + \sin (x)$

Schritt 2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx 0, - 2.02875783, 2.02875783, - 4.91318043, 4.91318043, - 7.97866571, 7.97866571$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x \sin (x)$ bei $x = 0$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = (0) \sin (0)$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (0) = 0 \cdot 0$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x \sin (x)$ bei $x = - 2.02875783$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.02875783$ .

$f (- 2.02875783) = (- 2.02875783) \sin (- 2.02875783)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 2.02875783$ mit $\sin (- 2.02875783)$ .

$f (- 2.02875783) = 1.81970574$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $1.81970574$ .

$1.81970574$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x \sin (x)$ bei $x = 2.02875783$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.02875783$ .

$f (2.02875783) = (2.02875783) \sin (2.02875783)$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2.02875783$ mit $\sin (2.02875783)$ .

$f (2.02875783) = 1.81970574$

Schritt 5.2.2

Die endgültige Lösung ist $1.81970574$ .

$1.81970574$

Schritt 6

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x \sin (x)$ bei $x = - 4.91318043$ .

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4.91318043$ .

$f (- 4.91318043) = (- 4.91318043) \sin (- 4.91318043)$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $- 4.91318043$ mit $\sin (- 4.91318043)$ .

$f (- 4.91318043) = - 4.81446988$

Schritt 6.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 4.81446988$ .

$- 4.81446988$

Schritt 7

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x \sin (x)$ bei $x = 4.91318043$ .

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4.91318043$ .

$f (4.91318043) = (4.91318043) \sin (4.91318043)$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $4.91318043$ mit $\sin (4.91318043)$ .

$f (4.91318043) = - 4.81446988$

Schritt 7.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 4.81446988$ .

$- 4.81446988$

Schritt 8

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x \sin (x)$ bei $x = - 7.97866571$ .

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 7.97866571$ .

$f (- 7.97866571) = (- 7.97866571) \sin (- 7.97866571)$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $- 7.97866571$ mit $\sin (- 7.97866571)$ .

$f (- 7.97866571) = 7.91672737$

Schritt 8.2.2

Die endgültige Lösung ist $7.91672737$ .

$7.91672737$

Schritt 9

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x \sin (x)$ bei $x = 7.97866571$ .

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7.97866571$ .

$f (7.97866571) = (7.97866571) \sin (7.97866571)$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $7.97866571$ mit $\sin (7.97866571)$ .

$f (7.97866571) = 7.91672737$

Schritt 9.2.2

Die endgültige Lösung ist $7.91672737$ .

$7.91672737$

Schritt 10

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = x \sin (x)$ sind $y = 0, y = 1.81970574, y = 1.81970574, y = - 4.81446988, y = - 4.81446988, y = 7.91672737, y = 7.91672737$ .

$y = 0, y = 1.81970574, y = 1.81970574, y = - 4.81446988, y = - 4.81446988, y = 7.91672737, y = 7.91672737$

Schritt 11