Analysis Beispiele

$f (x) = x \ln (x^{2})$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $x$ .

$\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x} x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.4.2

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.4.3.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 + \ln (x^{2}) \cdot 1$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $\ln (x^{2})$ mit $1$ .

$2 + \ln (x^{2})$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 + \ln (x^{2}) = 0$ .

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Schritt 2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (x^{2}) = - 2$

Schritt 2.2

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{- 2}$

Schritt 2.3

Schreibe $\ln (x^{2}) = - 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 2} = x^{2}$

Schritt 2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} = e^{- 2}$ um.

$x^{2} = e^{- 2}$

Schritt 2.4.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{e^{- 2}}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache $\pm \sqrt{e^{- 2}}$ .

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Schritt 2.4.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$

Schritt 2.4.3.2

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$

Schritt 2.4.3.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e^{2}}}$

Schritt 2.4.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{1}{e}$

Schritt 2.4.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{1}{e}$

Schritt 2.4.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{1}{e}$

Schritt 2.4.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x \ln (x^{2})$ bei $x = \frac{1}{e}$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln ({(\frac{1}{e})}^{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{e}$ an.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

Schritt 3.2.2

Bringe $e^{2}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\ln (1^{2} e^{- 2})$ als $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ um.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

Schritt 3.2.4

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- 2$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

Schritt 3.2.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

Schritt 3.2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.7.1

Zerlege $\ln (1^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

Schritt 3.2.7.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

Schritt 3.2.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

Schritt 3.2.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.8.1

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 2$

Schritt 3.2.8.2

Kombiniere $\frac{1}{e}$ und $- 2$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 2}{e}$

Schritt 3.2.8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{2}{e}$

Schritt 3.2.9

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2}{e}$ .

$- \frac{2}{e}$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x \ln (x^{2})$ bei $x = - \frac{1}{e}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = (- \frac{1}{e}) \ln ({(- \frac{1}{e})}^{2})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{e}$ an.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{e})}^{2})$

Schritt 4.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{e}$ an.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

Schritt 4.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1 (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{e^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

Schritt 4.2.4

Bringe $e^{2}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

Schritt 4.2.5

Schreibe $\ln (1^{2} e^{- 2})$ als $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ um.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

Schritt 4.2.6

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- 2$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

Schritt 4.2.7

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

Schritt 4.2.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

Schritt 4.2.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.9.1

Zerlege $\ln (1^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

Schritt 4.2.9.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

Schritt 4.2.9.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

Schritt 4.2.10

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot - 2$

Schritt 4.2.11

Multipliziere $- \frac{1}{e} \cdot - 2$ .

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Schritt 4.2.11.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = 2 (\frac{1}{e})$

Schritt 4.2.11.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{2}{e}$

Schritt 4.2.12

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Schritt 5

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = x \ln (x^{2})$ sind $y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$ .

$y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$

Schritt 6