Analysis Beispiele

$y = {(- x^{2} + 6 x - 5)}^{3}$

Schritt 1

Vereinfache ${(- x^{2} + 6 x - 5)}^{3}$ .

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Schritt 1.1

Wende den Multinomialsatz an.

$y = {(- x^{2})}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} (6 x) + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- x^{2}$ an.

$y = {(- 1)}^{3} {(x^{2})}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} (6 x) + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - {(x^{2})}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} (6 x) + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - x^{2 \cdot 3} + 3 {(- x^{2})}^{2} (6 x) + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = - x^{6} + 3 {(- x^{2})}^{2} (6 x) + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = - x^{6} + 3 \cdot 6 {(- x^{2})}^{2} x + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$y = - x^{6} + 18 {(- x^{2})}^{2} x + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.6

Wende die Produktregel auf $- x^{2}$ an.

$y = - x^{6} + 18 ({(- 1)}^{2} {(x^{2})}^{2}) x + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - x^{6} + 18 (1 {(x^{2})}^{2}) x + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.8

Mutltipliziere ${(x^{2})}^{2}$ mit $1$ .

$y = - x^{6} + 18 {(x^{2})}^{2} x + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.9

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.9.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{2 \cdot 2} x + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{4} x + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.10

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.10.1

Bewege $x$ .

$y = - x^{6} + 18 (x \cdot x^{4}) + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.10.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 1.2.1.10.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = - x^{6} + 18 (x^{1} x^{4}) + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = - x^{6} + 18 x^{1 + 4} + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.10.3

Addiere $1$ und $4$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 3 x^{2} {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.12

Wende die Produktregel auf $6 x$ an.

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 3 x^{2} (6^{2} x^{2}) + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.13

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 3 \cdot 6^{2} x^{2} x^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.14

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.14.1

Bewege $x^{2}$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 3 \cdot 6^{2} (x^{2} x^{2}) + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.14.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 3 \cdot 6^{2} x^{2 + 2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.14.3

Addiere $2$ und $2$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 3 \cdot 6^{2} x^{4} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.15

Potenziere $6$ mit $2$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 3 \cdot 36 x^{4} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.16

Mutltipliziere $- 3$ mit $36$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.17

Wende die Produktregel auf $6 x$ an.

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 6^{3} x^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.18

Potenziere $6$ mit $3$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.19

Wende die Produktregel auf $- x^{2}$ an.

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} + 3 ({(- 1)}^{2} {(x^{2})}^{2}) \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.20

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} + 3 (1 {(x^{2})}^{2}) \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.21

Mutltipliziere ${(x^{2})}^{2}$ mit $1$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.22

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.22.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} + 3 x^{2 \cdot 2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.22.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} + 3 x^{4} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.23

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.24

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.24.1

Bewege $x$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 6 (- (x \cdot x^{2})) \cdot 6 \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.24.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.24.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 6 (- (x^{1} x^{2})) \cdot 6 \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.24.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 6 (- x^{1 + 2}) \cdot 6 \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.24.3

Addiere $1$ und $2$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 6 (- x^{3}) \cdot 6 \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.25

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} - 6 x^{3} \cdot 6 \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.26

Mutltipliziere $6$ mit $- 6$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} - 36 x^{3} \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.27

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 36$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.28

Wende die Produktregel auf $6 x$ an.

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} + 3 (6^{2} x^{2}) \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.29

Potenziere $6$ mit $2$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} + 3 (36 x^{2}) \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.30

Mutltipliziere $36$ mit $3$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} + 108 x^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.31

Mutltipliziere $- 5$ mit $108$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.32

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 3 x^{2} {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.33

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 3 x^{2} \cdot 25 + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.34

Mutltipliziere $25$ mit $- 3$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 75 x^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.35

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 75 x^{2} + 18 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.36

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 75 x^{2} + 18 x \cdot 25 + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.37

Mutltipliziere $25$ mit $18$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 75 x^{2} + 450 x + {(- 5)}^{3}$

Schritt 1.2.1.38

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 75 x^{2} + 450 x - 125$

Schritt 1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.2.2.1

Subtrahiere $15 x^{4}$ von $- 108 x^{4}$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 216 x^{3} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 75 x^{2} + 450 x - 125$

Schritt 1.2.2.2

Addiere $216 x^{3}$ und $180 x^{3}$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 540 x^{2} - 75 x^{2} + 450 x - 125$

Schritt 1.2.2.3

Subtrahiere $75 x^{2}$ von $- 540 x^{2}$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 615 x^{2} + 450 x - 125$

Schritt 2

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 615 x^{2} + 450 x - 125$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 615 x^{2} + 450 x - 125$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{6}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$- (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- 6 x^{5} + \frac{d}{d x} [18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [18 x^{5}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18 x^{5}$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 6 x^{5} + 18 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- 6 x^{5} + 18 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $18$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 123 x^{4}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 123$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 123 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 123 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 123 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 123 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 123$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Schritt 3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [396 x^{3}]$ .

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Schritt 3.5.1

Da $396$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $396 x^{3}$ nach $x$ gleich $396 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 396 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 396 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $396$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Schritt 3.6

Berechne $\frac{d}{d x} [- 615 x^{2}]$ .

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Schritt 3.6.1

Da $- 615$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 615 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 615 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 615 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 615 (2 x) + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 615$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Schritt 3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [450 x]$ .

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Schritt 3.7.1

Da $450$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $450 x$ nach $x$ gleich $450 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Schritt 3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 125]$

Schritt 3.7.3

Mutltipliziere $450$ mit $1$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 + \frac{d}{d x} [- 125]$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.8.1

Da $- 125$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 125$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 + 0$

Schritt 3.8.2

Addiere $- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450$ und $0$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 = 0$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450$ heraus.

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Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x^{5}$ heraus.

$6 (- x^{5}) + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 = 0$

Schritt 4.1.1.2

Faktorisiere $6$ aus $90 x^{4}$ heraus.

$6 (- x^{5}) + 6 (15 x^{4}) - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 = 0$

Schritt 4.1.1.3

Faktorisiere $6$ aus $- 492 x^{3}$ heraus.

$6 (- x^{5}) + 6 (15 x^{4}) + 6 (- 82 x^{3}) + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 = 0$

Schritt 4.1.1.4

Faktorisiere $6$ aus $1188 x^{2}$ heraus.

$6 (- x^{5}) + 6 (15 x^{4}) + 6 (- 82 x^{3}) + 6 (198 x^{2}) - 1230 x + 450 = 0$

Schritt 4.1.1.5

Faktorisiere $6$ aus $- 1230 x$ heraus.

$6 (- x^{5}) + 6 (15 x^{4}) + 6 (- 82 x^{3}) + 6 (198 x^{2}) + 6 (- 205 x) + 450 = 0$

Schritt 4.1.1.6

Faktorisiere $6$ aus $450$ heraus.

$6 (- x^{5}) + 6 (15 x^{4}) + 6 (- 82 x^{3}) + 6 (198 x^{2}) + 6 (- 205 x) + 6 (75) = 0$

Schritt 4.1.1.7

Faktorisiere $6$ aus $6 (- x^{5}) + 6 (15 x^{4})$ heraus.

$6 (- x^{5} + 15 x^{4}) + 6 (- 82 x^{3}) + 6 (198 x^{2}) + 6 (- 205 x) + 6 (75) = 0$

Schritt 4.1.1.8

Faktorisiere $6$ aus $6 (- x^{5} + 15 x^{4}) + 6 (- 82 x^{3})$ heraus.

$6 (- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3}) + 6 (198 x^{2}) + 6 (- 205 x) + 6 (75) = 0$

Schritt 4.1.1.9

Faktorisiere $6$ aus $6 (- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3}) + 6 (198 x^{2})$ heraus.

$6 (- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2}) + 6 (- 205 x) + 6 (75) = 0$

Schritt 4.1.1.10

Faktorisiere $6$ aus $6 (- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2}) + 6 (- 205 x)$ heraus.

$6 (- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2} - 205 x) + 6 (75) = 0$

Schritt 4.1.1.11

Faktorisiere $6$ aus $6 (- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2} - 205 x) + 6 (75)$ heraus.

$6 (- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2} - 205 x + 75) = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2} - 205 x + 75$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 4.1.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 75, \pm 3, \pm 25, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1$

Schritt 4.1.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 75, \pm 3, \pm 25, \pm 5, \pm 15$

Schritt 4.1.2.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1.2.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$- 1^{5} + 15 \cdot 1^{4} - 82 \cdot 1^{3} + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

Schritt 4.1.2.3.2

Potenziere $1$ mit $5$ .

$- 1 \cdot 1 + 15 \cdot 1^{4} - 82 \cdot 1^{3} + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

Schritt 4.1.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + 15 \cdot 1^{4} - 82 \cdot 1^{3} + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

Schritt 4.1.2.3.4

Potenziere $1$ mit $4$ .

$- 1 + 15 \cdot 1 - 82 \cdot 1^{3} + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

Schritt 4.1.2.3.5

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$- 1 + 15 - 82 \cdot 1^{3} + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

Schritt 4.1.2.3.6

Addiere $- 1$ und $15$ .

$14 - 82 \cdot 1^{3} + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

Schritt 4.1.2.3.7

Potenziere $1$ mit $3$ .

$14 - 82 \cdot 1 + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

Schritt 4.1.2.3.8

Mutltipliziere $- 82$ mit $1$ .

$14 - 82 + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

Schritt 4.1.2.3.9

Subtrahiere $82$ von $14$ .

$- 68 + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

Schritt 4.1.2.3.10

Potenziere $1$ mit $2$ .

$- 68 + 198 \cdot 1 - 205 \cdot 1 + 75$

Schritt 4.1.2.3.11

Mutltipliziere $198$ mit $1$ .

$- 68 + 198 - 205 \cdot 1 + 75$

Schritt 4.1.2.3.12

Addiere $- 68$ und $198$ .

$130 - 205 \cdot 1 + 75$

Schritt 4.1.2.3.13

Mutltipliziere $- 205$ mit $1$ .

$130 - 205 + 75$

Schritt 4.1.2.3.14

Subtrahiere $205$ von $130$ .

$- 75 + 75$

Schritt 4.1.2.3.15

Addiere $- 75$ und $75$ .

$0$

Schritt 4.1.2.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2} - 205 x + 75}{x - 1}$

Schritt 4.1.2.5

Dividiere $- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2} - 205 x + 75$ durch $x - 1$ .

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Schritt 4.1.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

Schritt 4.1.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{5}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x^{4}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{5}$	+	$15 x^{4}$	-	$82 x^{3}$	+	$198 x^{2}$	-	$205 x$	+	$75$

Schritt 4.1.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

Schritt 4.1.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{5} + x^{4}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

Schritt 4.1.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

Schritt 4.1.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

Schritt 4.1.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $14 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

Schritt 4.1.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

Schritt 4.1.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $14 x^{4} - 14 x^{3}$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

Schritt 4.1.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

Schritt 4.1.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

Schritt 4.1.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 68 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

Schritt 4.1.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

Schritt 4.1.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 68 x^{3} + 68 x^{2}$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

Schritt 4.1.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

Schritt 4.1.2.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

Schritt 4.1.2.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $130 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

Schritt 4.1.2.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

Schritt 4.1.2.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $130 x^{2} - 130 x$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

Schritt 4.1.2.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

$75 x$

Schritt 4.1.2.5.21

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

$75 x$

$75$

Schritt 4.1.2.5.22

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 75 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

$75 x$

$75$

Schritt 4.1.2.5.23

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

$75 x$

$75$

$75 x$

$75$

Schritt 4.1.2.5.24

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 75 x + 75$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

$75 x$

$75$

$75 x$

$75$

Schritt 4.1.2.5.25

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

$75 x$

$75$

$75 x$

$75$

$0$

Schritt 4.1.2.5.26

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{4} + 14 x^{3} - 68 x^{2} + 130 x - 75$

Schritt 4.1.2.6

Schreibe $- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2} - 205 x + 75$ als eine Menge von Faktoren.

$6 ((x - 1) (- x^{4} + 14 x^{3} - 68 x^{2} + 130 x - 75)) = 0$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $- x^{4} + 14 x^{3} - 68 x^{2} + 130 x - 75$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 75, \pm 3, \pm 25, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1$

Schritt 4.1.3.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 75, \pm 3, \pm 25, \pm 5, \pm 15$

Schritt 4.1.3.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$- 1^{4} + 14 \cdot 1^{3} - 68 \cdot 1^{2} + 130 \cdot 1 - 75$

Schritt 4.1.3.3.2

Potenziere $1$ mit $4$ .

$- 1 \cdot 1 + 14 \cdot 1^{3} - 68 \cdot 1^{2} + 130 \cdot 1 - 75$

Schritt 4.1.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + 14 \cdot 1^{3} - 68 \cdot 1^{2} + 130 \cdot 1 - 75$

Schritt 4.1.3.3.4

Potenziere $1$ mit $3$ .

$- 1 + 14 \cdot 1 - 68 \cdot 1^{2} + 130 \cdot 1 - 75$

Schritt 4.1.3.3.5

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$- 1 + 14 - 68 \cdot 1^{2} + 130 \cdot 1 - 75$

Schritt 4.1.3.3.6

Addiere $- 1$ und $14$ .

$13 - 68 \cdot 1^{2} + 130 \cdot 1 - 75$

Schritt 4.1.3.3.7

Potenziere $1$ mit $2$ .

$13 - 68 \cdot 1 + 130 \cdot 1 - 75$

Schritt 4.1.3.3.8

Mutltipliziere $- 68$ mit $1$ .

$13 - 68 + 130 \cdot 1 - 75$

Schritt 4.1.3.3.9

Subtrahiere $68$ von $13$ .

$- 55 + 130 \cdot 1 - 75$

Schritt 4.1.3.3.10

Mutltipliziere $130$ mit $1$ .

$- 55 + 130 - 75$

Schritt 4.1.3.3.11

Addiere $- 55$ und $130$ .

$75 - 75$

Schritt 4.1.3.3.12

Subtrahiere $75$ von $75$ .

$0$

Schritt 4.1.3.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{4} + 14 x^{3} - 68 x^{2} + 130 x - 75}{x - 1}$

Schritt 4.1.3.5

Dividiere $- x^{4} + 14 x^{3} - 68 x^{2} + 130 x - 75$ durch $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

Schritt 4.1.3.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x^{3}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{4}$	+	$14 x^{3}$	-	$68 x^{2}$	+	$130 x$	-	$75$

Schritt 4.1.3.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{3}$
$x$	-	$1$	-	$x^{4}$	+	$14 x^{3}$	-	$68 x^{2}$	+	$130 x$	-	$75$
			-	$x^{4}$	+	$x^{3}$

Schritt 4.1.3.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{4} + x^{3}$

			-	$x^{3}$
$x$	-	$1$	-	$x^{4}$	+	$14 x^{3}$	-	$68 x^{2}$	+	$130 x$	-	$75$
			+	$x^{4}$	-	$x^{3}$

Schritt 4.1.3.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

Schritt 4.1.3.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

Schritt 4.1.3.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $13 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

Schritt 4.1.3.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

Schritt 4.1.3.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $13 x^{3} - 13 x^{2}$

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

Schritt 4.1.3.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

Schritt 4.1.3.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

Schritt 4.1.3.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 55 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

Schritt 4.1.3.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

Schritt 4.1.3.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 55 x^{2} + 55 x$

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

Schritt 4.1.3.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

$75 x$

Schritt 4.1.3.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

$75 x$

$75$

Schritt 4.1.3.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $75 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

$75 x$

$75$

Schritt 4.1.3.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

$75 x$

$75$

$75 x$

$75$

Schritt 4.1.3.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $75 x - 75$

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

$75 x$

$75$

$75 x$

$75$

Schritt 4.1.3.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

$75 x$

$75$

$75 x$

$75$

$0$

Schritt 4.1.3.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{3} + 13 x^{2} - 55 x + 75$

Schritt 4.1.3.6

Schreibe $- x^{4} + 14 x^{3} - 68 x^{2} + 130 x - 75$ als eine Menge von Faktoren.

$6 ((x - 1) ((x - 1) (- x^{3} + 13 x^{2} - 55 x + 75))) = 0$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $- x^{3} + 13 x^{2} - 55 x + 75$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 75, \pm 3, \pm 25, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1$

Schritt 4.1.4.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 75, \pm 3, \pm 25, \pm 5, \pm 15$

Schritt 4.1.4.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$- 3^{3} + 13 \cdot 3^{2} - 55 \cdot 3 + 75$

Schritt 4.1.4.3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- 1 \cdot 27 + 13 \cdot 3^{2} - 55 \cdot 3 + 75$

Schritt 4.1.4.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$- 27 + 13 \cdot 3^{2} - 55 \cdot 3 + 75$

Schritt 4.1.4.3.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- 27 + 13 \cdot 9 - 55 \cdot 3 + 75$

Schritt 4.1.4.3.5

Mutltipliziere $13$ mit $9$ .

$- 27 + 117 - 55 \cdot 3 + 75$

Schritt 4.1.4.3.6

Addiere $- 27$ und $117$ .

$90 - 55 \cdot 3 + 75$

Schritt 4.1.4.3.7

Mutltipliziere $- 55$ mit $3$ .

$90 - 165 + 75$

Schritt 4.1.4.3.8

Subtrahiere $165$ von $90$ .

$- 75 + 75$

Schritt 4.1.4.3.9

Addiere $- 75$ und $75$ .

$0$

Schritt 4.1.4.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{3} + 13 x^{2} - 55 x + 75}{x - 3}$

Schritt 4.1.4.5

Dividiere $- x^{3} + 13 x^{2} - 55 x + 75$ durch $x - 3$ .

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Schritt 4.1.4.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$75$

Schritt 4.1.4.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$

Schritt 4.1.4.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 4.1.4.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{3} + 3 x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 4.1.4.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

Schritt 4.1.4.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$

Schritt 4.1.4.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $10 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$

Schritt 4.1.4.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$30 x$

Schritt 4.1.4.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $10 x^{2} - 30 x$

			-	$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$30 x$

Schritt 4.1.4.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$25 x$

Schritt 4.1.4.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$25 x$	+	$75$

Schritt 4.1.4.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 25 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$25 x$	+	$75$

Schritt 4.1.4.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$25 x$	+	$75$
							-	$25 x$	+	$75$

Schritt 4.1.4.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 25 x + 75$

			-	$x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$25 x$	+	$75$
							+	$25 x$	-	$75$

Schritt 4.1.4.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$25 x$	+	$75$
							+	$25 x$	-	$75$
										$0$

Schritt 4.1.4.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{2} + 10 x - 25$

Schritt 4.1.4.6

Schreibe $- x^{3} + 13 x^{2} - 55 x + 75$ als eine Menge von Faktoren.

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- x^{2} + 10 x - 25)))) = 0$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1.5.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 25 = 25$ und deren Summe gleich $b = 10$ ist.

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Schritt 4.1.5.1.1.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x$ heraus.

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- x^{2} + 10 (x) - 25)))) = 0$

Schritt 4.1.5.1.1.2

Schreibe $10$ um als $5$ plus $5$

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- x^{2} + (5 + 5) x - 25)))) = 0$

Schritt 4.1.5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- x^{2} + 5 x + 5 x - 25)))) = 0$

Schritt 4.1.5.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.1.5.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) ((- x^{2} + 5 x) + 5 x - 25)))) = 0$

Schritt 4.1.5.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (x (- x + 5) - 5 (- x + 5))))) = 0$

Schritt 4.1.5.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 5$ .

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) ((- x + 5) (x - 5))))) = 0$

Schritt 4.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- x + 5) (x - 5)))) = 0$

Schritt 4.1.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- (x) + 5) (x - 5)))) = 0$

Schritt 4.1.6.2

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- (x) - 1 \cdot - 5) (x - 5)))) = 0$

Schritt 4.1.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 5)$ heraus.

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- (x - 5)) (x - 5)))) = 0$

Schritt 4.1.6.4

Schreibe $- (x - 5)$ als $- 1 (x - 5)$ um.

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- 1 (x - 5)) (x - 5)))) = 0$

Schritt 4.1.6.5

Entferne die Klammern.

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) \cdot (- 1 (x - 5) (x - 5))))) = 0$

Schritt 4.1.6.6

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) \cdot (- 1 ((x - 5) (x - 5)))))) = 0$

Schritt 4.1.6.7

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) \cdot (- 1 ((x - 5) (x - 5)))))) = 0$

Schritt 4.1.6.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) \cdot (- 1 {(x - 5)}^{1 + 1})))) = 0$

Schritt 4.1.6.9

Addiere $1$ und $1$ .

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) \cdot (- 1 {(x - 5)}^{2})))) = 0$

Schritt 4.1.7

Faktorisiere.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere.

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Schritt 4.1.7.1.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$6 ((x - 1) ((x - 1) (- ((x - 3) {(x - 5)}^{2})))) = 0$

Schritt 4.1.7.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 ((x - 1) ((x - 1) (- (x - 3) {(x - 5)}^{2}))) = 0$

Schritt 4.1.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 ((x - 1) ((x - 1) \cdot (- 1 (x - 3) {(x - 5)}^{2}))) = 0$

Schritt 4.1.8

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.8.1

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.8.1.1

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.8.1.1.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$6 ((x - 1) (- (((x - 1) (x - 3)) {(x - 5)}^{2}))) = 0$

Schritt 4.1.8.1.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 ((x - 1) (- (x - 1) (x - 3) {(x - 5)}^{2})) = 0$

Schritt 4.1.8.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 ((x - 1) \cdot (- 1 (x - 1) (x - 3) {(x - 5)}^{2})) = 0$

Schritt 4.1.8.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 (x - 1) \cdot (- 1 (x - 1) (x - 3) {(x - 5)}^{2}) = 0$

Schritt 4.1.9

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 6 (x - 1) (x - 1) (x - 3) {(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 4.1.9.2

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$- 6 ((x - 1) (x - 1)) (x - 3) {(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 4.1.9.3

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$- 6 ((x - 1) (x - 1)) (x - 3) {(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 4.1.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 6 {(x - 1)}^{1 + 1} (x - 3) {(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 4.1.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- 6 {(x - 1)}^{2} (x - 3) {(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 4.3

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 4.3.2

Löse ${(x - 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4.4

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4.5

Setze ${(x - 5)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze ${(x - 5)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 4.5.2

Löse ${(x - 5)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 4.5.2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 6 {(x - 1)}^{2} (x - 3) {(x - 5)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 1, 3, 5$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 615 x^{2} + 450 x - 125$ bei $x = 1$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - {(1)}^{6} + 18 {(1)}^{5} - 123 {(1)}^{4} + 396 {(1)}^{3} - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 18 {(1)}^{5} - 123 {(1)}^{4} + 396 {(1)}^{3} - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = - 1 + 18 {(1)}^{5} - 123 {(1)}^{4} + 396 {(1)}^{3} - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

Schritt 5.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - 1 + 18 \cdot 1 - 123 {(1)}^{4} + 396 {(1)}^{3} - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $18$ mit $1$ .

$f (1) = - 1 + 18 - 123 {(1)}^{4} + 396 {(1)}^{3} - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

Schritt 5.2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - 1 + 18 - 123 \cdot 1 + 396 {(1)}^{3} - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

Schritt 5.2.1.6

Mutltipliziere $- 123$ mit $1$ .

$f (1) = - 1 + 18 - 123 + 396 {(1)}^{3} - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

Schritt 5.2.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - 1 + 18 - 123 + 396 \cdot 1 - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

Schritt 5.2.1.8

Mutltipliziere $396$ mit $1$ .

$f (1) = - 1 + 18 - 123 + 396 - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

Schritt 5.2.1.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - 1 + 18 - 123 + 396 - 615 \cdot 1 + 450 (1) - 125$

Schritt 5.2.1.10

Mutltipliziere $- 615$ mit $1$ .

$f (1) = - 1 + 18 - 123 + 396 - 615 + 450 (1) - 125$

Schritt 5.2.1.11

Mutltipliziere $450$ mit $1$ .

$f (1) = - 1 + 18 - 123 + 396 - 615 + 450 - 125$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 1$ und $18$ .

$f (1) = 17 - 123 + 396 - 615 + 450 - 125$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $123$ von $17$ .

$f (1) = - 106 + 396 - 615 + 450 - 125$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $- 106$ und $396$ .

$f (1) = 290 - 615 + 450 - 125$

Schritt 5.2.2.4

Subtrahiere $615$ von $290$ .

$f (1) = - 325 + 450 - 125$

Schritt 5.2.2.5

Addiere $- 325$ und $450$ .

$f (1) = 125 - 125$

Schritt 5.2.2.6

Subtrahiere $125$ von $125$ .

$f (1) = 0$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 6

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 615 x^{2} + 450 x - 125$ bei $x = 3$ .

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = - {(3)}^{6} + 18 {(3)}^{5} - 123 {(3)}^{4} + 396 {(3)}^{3} - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $3$ mit $6$ .

$f (3) = - 1 \cdot 729 + 18 {(3)}^{5} - 123 {(3)}^{4} + 396 {(3)}^{3} - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $729$ .

$f (3) = - 729 + 18 {(3)}^{5} - 123 {(3)}^{4} + 396 {(3)}^{3} - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $3$ mit $5$ .

$f (3) = - 729 + 18 \cdot 243 - 123 {(3)}^{4} + 396 {(3)}^{3} - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $18$ mit $243$ .

$f (3) = - 729 + 4374 - 123 {(3)}^{4} + 396 {(3)}^{3} - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

Schritt 6.2.1.5

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (3) = - 729 + 4374 - 123 \cdot 81 + 396 {(3)}^{3} - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $- 123$ mit $81$ .

$f (3) = - 729 + 4374 - 9963 + 396 {(3)}^{3} - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

Schritt 6.2.1.7

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (3) = - 729 + 4374 - 9963 + 396 \cdot 27 - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

Schritt 6.2.1.8

Mutltipliziere $396$ mit $27$ .

$f (3) = - 729 + 4374 - 9963 + 10692 - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

Schritt 6.2.1.9

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = - 729 + 4374 - 9963 + 10692 - 615 \cdot 9 + 450 (3) - 125$

Schritt 6.2.1.10

Mutltipliziere $- 615$ mit $9$ .

$f (3) = - 729 + 4374 - 9963 + 10692 - 5535 + 450 (3) - 125$

Schritt 6.2.1.11

Mutltipliziere $450$ mit $3$ .

$f (3) = - 729 + 4374 - 9963 + 10692 - 5535 + 1350 - 125$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 729$ und $4374$ .

$f (3) = 3645 - 9963 + 10692 - 5535 + 1350 - 125$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $9963$ von $3645$ .

$f (3) = - 6318 + 10692 - 5535 + 1350 - 125$

Schritt 6.2.2.3

Addiere $- 6318$ und $10692$ .

$f (3) = 4374 - 5535 + 1350 - 125$

Schritt 6.2.2.4

Subtrahiere $5535$ von $4374$ .

$f (3) = - 1161 + 1350 - 125$

Schritt 6.2.2.5

Addiere $- 1161$ und $1350$ .

$f (3) = 189 - 125$

Schritt 6.2.2.6

Subtrahiere $125$ von $189$ .

$f (3) = 64$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $64$ .

$64$

Schritt 7

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 615 x^{2} + 450 x - 125$ bei $x = 5$ .

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = - {(5)}^{6} + 18 {(5)}^{5} - 123 {(5)}^{4} + 396 {(5)}^{3} - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $5$ mit $6$ .

$f (5) = - 1 \cdot 15625 + 18 {(5)}^{5} - 123 {(5)}^{4} + 396 {(5)}^{3} - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $15625$ .

$f (5) = - 15625 + 18 {(5)}^{5} - 123 {(5)}^{4} + 396 {(5)}^{3} - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $5$ mit $5$ .

$f (5) = - 15625 + 18 \cdot 3125 - 123 {(5)}^{4} + 396 {(5)}^{3} - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $18$ mit $3125$ .

$f (5) = - 15625 + 56250 - 123 {(5)}^{4} + 396 {(5)}^{3} - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

Schritt 7.2.1.5

Potenziere $5$ mit $4$ .

$f (5) = - 15625 + 56250 - 123 \cdot 625 + 396 {(5)}^{3} - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

Schritt 7.2.1.6

Mutltipliziere $- 123$ mit $625$ .

$f (5) = - 15625 + 56250 - 76875 + 396 {(5)}^{3} - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

Schritt 7.2.1.7

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f (5) = - 15625 + 56250 - 76875 + 396 \cdot 125 - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

Schritt 7.2.1.8

Mutltipliziere $396$ mit $125$ .

$f (5) = - 15625 + 56250 - 76875 + 49500 - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

Schritt 7.2.1.9

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (5) = - 15625 + 56250 - 76875 + 49500 - 615 \cdot 25 + 450 (5) - 125$

Schritt 7.2.1.10

Mutltipliziere $- 615$ mit $25$ .

$f (5) = - 15625 + 56250 - 76875 + 49500 - 15375 + 450 (5) - 125$

Schritt 7.2.1.11

Mutltipliziere $450$ mit $5$ .

$f (5) = - 15625 + 56250 - 76875 + 49500 - 15375 + 2250 - 125$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $- 15625$ und $56250$ .

$f (5) = 40625 - 76875 + 49500 - 15375 + 2250 - 125$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $76875$ von $40625$ .

$f (5) = - 36250 + 49500 - 15375 + 2250 - 125$

Schritt 7.2.2.3

Addiere $- 36250$ und $49500$ .

$f (5) = 13250 - 15375 + 2250 - 125$

Schritt 7.2.2.4

Subtrahiere $15375$ von $13250$ .

$f (5) = - 2125 + 2250 - 125$

Schritt 7.2.2.5

Addiere $- 2125$ und $2250$ .

$f (5) = 125 - 125$

Schritt 7.2.2.6

Subtrahiere $125$ von $125$ .

$f (5) = 0$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 8

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 615 x^{2} + 450 x - 125$ sind $y = 0, y = 64, y = 0$ .

$y = 0, y = 64, y = 0$

Schritt 9