Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 2

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = (x + 1) (x - 1)$ und $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)] - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.4.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.8.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.8.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.8.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.8.4.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.8.4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + x + 1) x - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x + 1) (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x + 1) (x - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.12

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x + 1) (x - 1) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.13

Addiere $2 x + 1$ und $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x + 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1) x - (x + 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - (x + 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.4.4.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (x \cdot x) + 2 \cdot 1 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x - 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.5

Multipliziere $(- x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.4.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x (x - 1) - 1 (x - 1)) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.4.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.1.6.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.4.1.6.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.6.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.6.1.2

Multipliziere $- x \cdot - 1$ .

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Schritt 3.4.4.1.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + x - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.6.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + x - x - 1 \cdot - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + x - x + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.6.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + 0 + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.6.3

Addiere $- x^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.7

Multipliziere $(- x^{2} + 1) (2 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.4.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.1.8.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.8.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.4.1.8.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.8.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.4.4.1.8.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.8.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.8.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.8.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.8.5

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.8.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1$ .

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Schritt 3.4.4.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 0 - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.2.2

Addiere $2 x^{2} + 2 x$ und $0$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.4

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x^{2} + 4 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 4.1

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 4$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.4.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Schritt 4.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{3}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Schritt 4.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{3}$

Schritt 4.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} + x + 1}$ bei $x = - 2 + \sqrt{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2 + \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{((- 2 + \sqrt{3}) + 1) ((- 2 + \sqrt{3}) - 1)}{{(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{((- 2 + \sqrt{3}) + 1) ((- 2 + \sqrt{3}) - 1)}{{(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 2$ und $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3} - 1)}{{(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{{(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Schreibe ${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$ als $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ um.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3}) - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{- 2 (- 2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3}) - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Schritt 5.2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3}) - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Schritt 5.2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.3.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Schritt 5.2.3.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Schritt 5.2.3.3.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Schritt 5.2.3.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{9} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Schritt 5.2.3.3.1.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Schritt 5.2.3.3.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3 - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Schritt 5.2.3.3.2

Addiere $4$ und $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Schritt 5.2.3.3.3

Subtrahiere $2 \sqrt{3}$ von $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{7 - 4 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Schritt 5.2.3.4

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{5 - 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}$

Schritt 5.2.3.5

Addiere $5$ und $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{6 - 4 \sqrt{3} + \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.3.6

Addiere $- 4 \sqrt{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4

Multipliziere $(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 (- 3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 3 + \sqrt{3})}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot - 3 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 3 + \sqrt{3})}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot - 3 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.5.1.2

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 - \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.5.1.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 - \sqrt{3} - 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.5.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 - \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.5.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 - \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.5.1.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 - \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.5.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 - \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $3$ und $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{6 - \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.5.3

Subtrahiere $3 \sqrt{3}$ von $- \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{6 - 4 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $\frac{6 - 4 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$ mit $\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{6 - 4 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}} \cdot \frac{6 + 3 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.7

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{6 - 4 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$ mit $\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(6 - 4 \sqrt{3}) (6 + 3 \sqrt{3})}{(6 - 3 \sqrt{3}) (6 + 3 \sqrt{3})}$

Schritt 5.2.7.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(6 - 4 \sqrt{3}) (6 + 3 \sqrt{3})}{36 + 18 \sqrt{3} - 18 \sqrt{3} - 9 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.2.7.3

Vereinfache.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(6 - 4 \sqrt{3}) (6 + 3 \sqrt{3})}{9}$

Schritt 5.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 + 3 \sqrt{3}$ und $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.7.4.1

Faktorisiere $3$ aus $(6 - 4 \sqrt{3}) (6 + 3 \sqrt{3})$ heraus.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 ((6 - 4 \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{9}$

Schritt 5.2.7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.7.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 ((6 - 4 \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{3 (3)}$

Schritt 5.2.7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 ((6 - 4 \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{3 \cdot 3}$

Schritt 5.2.7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(6 - 4 \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{3}$

Schritt 5.2.8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.8.1

Multipliziere $(6 - 4 \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{6 (2 + \sqrt{3}) - 4 \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{3}$

Schritt 5.2.8.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{3}$

Schritt 5.2.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} \cdot 2 - 4 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.8.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.8.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.8.2.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} \cdot 2 - 4 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.8.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.8.2.1.3

Multipliziere $- 4 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.8.2.1.3.1

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Schritt 5.2.8.2.1.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Schritt 5.2.8.2.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}$

Schritt 5.2.8.2.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 {\sqrt{3}}^{2}}{3}$

Schritt 5.2.8.2.1.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.8.2.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Schritt 5.2.8.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Schritt 5.2.8.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Schritt 5.2.8.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.8.2.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Schritt 5.2.8.2.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.8.2.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.8.2.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 12}{3}$

Schritt 5.2.8.2.2

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{0 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.8.2.3

Addiere $0$ und $6 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.8.2.4

Subtrahiere $8 \sqrt{3}$ von $6 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.10

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 6

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} + x + 1}$ bei $x = - 2 - \sqrt{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2 - \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{((- 2 - \sqrt{3}) + 1) ((- 2 - \sqrt{3}) - 1)}{{(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{((- 2 - \sqrt{3}) + 1) ((- 2 - \sqrt{3}) - 1)}{{(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 2$ und $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3} - 1)}{{(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{{(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Schreibe ${(- 2 - \sqrt{3})}^{2}$ als $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ um.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3}) - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3.2

Multipliziere $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{- 2 (- 2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3}) - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3}) - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.3.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3.3.1.4

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3.3.1.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3 - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3.3.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3 - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3.3.2

Addiere $4$ und $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3.3.3

Addiere $2 \sqrt{3}$ und $2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{7 + 4 \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3.4

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{5 + 4 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1}$

Schritt 6.2.3.5

Addiere $5$ und $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{6 + 4 \sqrt{3} - \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.3.6

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von $4 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.4

Multipliziere $(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 (- 3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 3 - \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot - 3 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 3 - \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot - 3 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.5.1.2

Multipliziere $- 1 (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + 1 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.5.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.5.1.4

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.5.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.5.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.5.1.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.5.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.5.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.5.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.5.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.5.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.5.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.5.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.5.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.5.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.5.2

Addiere $3$ und $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{6 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.5.3

Addiere $\sqrt{3}$ und $3 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{6 + 4 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere $\frac{6 + 4 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$ mit $\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{6 + 4 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}} \cdot \frac{6 - 3 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.7

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{6 + 4 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$ mit $\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(6 + 4 \sqrt{3}) (6 - 3 \sqrt{3})}{(6 + 3 \sqrt{3}) (6 - 3 \sqrt{3})}$

Schritt 6.2.7.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(6 + 4 \sqrt{3}) (6 - 3 \sqrt{3})}{36 - 18 \sqrt{3} + 18 \sqrt{3} - 9 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 6.2.7.3

Vereinfache.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(6 + 4 \sqrt{3}) (6 - 3 \sqrt{3})}{9}$

Schritt 6.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 - 3 \sqrt{3}$ und $9$ .

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Schritt 6.2.7.4.1

Faktorisiere $3$ aus $(6 + 4 \sqrt{3}) (6 - 3 \sqrt{3})$ heraus.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 ((6 + 4 \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{9}$

Schritt 6.2.7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.7.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 ((6 + 4 \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{3 (3)}$

Schritt 6.2.7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 ((6 + 4 \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{3 \cdot 3}$

Schritt 6.2.7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(6 + 4 \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}{3}$

Schritt 6.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.8.1

Multipliziere $(6 + 4 \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{3}$

Schritt 6.2.8.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3}) + 4 \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{3}$

Schritt 6.2.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3}) + 4 \sqrt{3} \cdot 2 + 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3}$

Schritt 6.2.8.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.8.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.8.2.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 (- \sqrt{3}) + 4 \sqrt{3} \cdot 2 + 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3}$

Schritt 6.2.8.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} \cdot 2 + 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3}$

Schritt 6.2.8.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3}$

Schritt 6.2.8.2.1.4

Multipliziere $4 \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 6.2.8.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 6.2.8.2.1.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Schritt 6.2.8.2.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Schritt 6.2.8.2.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}$

Schritt 6.2.8.2.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 {\sqrt{3}}^{2}}{3}$

Schritt 6.2.8.2.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 6.2.8.2.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Schritt 6.2.8.2.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Schritt 6.2.8.2.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Schritt 6.2.8.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.8.2.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Schritt 6.2.8.2.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3}{3}$

Schritt 6.2.8.2.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3}{3}$

Schritt 6.2.8.2.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 12}{3}$

Schritt 6.2.8.2.2

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{0 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 6.2.8.2.3

Subtrahiere $6 \sqrt{3}$ von $0$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 6.2.8.2.4

Addiere $- 6 \sqrt{3}$ und $8 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 6.2.9

Die endgültige Lösung ist $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 7

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} + x + 1}$ sind $y = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, y = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, y = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 8