Analysis Beispiele

$y = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 4 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$4 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} - 8 x + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $4 x^{3} - 8 x$ und $0$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} - 8 x$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 8 x$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ heraus.

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 3.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.4

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $x^{2} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2$

Schritt 3.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 3.4.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 3.4.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 3.4.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (x^{2} - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2} + 1$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2} + 1$

Schritt 4.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f (0) = 1$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ bei $x = \sqrt{2}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{4}$ als $2^{2}$ um.

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Schritt 5.2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Schritt 5.2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Schritt 5.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Schritt 5.2.1.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Schritt 5.2.1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Schritt 5.2.1.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Schritt 5.2.1.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Schritt 5.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.2.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Schritt 5.2.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Schritt 5.2.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

Schritt 5.2.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

Schritt 5.2.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

Schritt 5.2.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 8 + 1$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 1$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 4$ und $1$ .

$f (\sqrt{2}) = - 3$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 6

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ sind $y = 1, y = - 3, y = - 3$ .

$y = 1, y = - 3, y = - 3$

Schritt 7