Analysis Beispiele

$y = x^{4} - 2 x + 1$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = x^{4} - 2 x + 1$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$4 x^{3} - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} - 2 + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $4 x^{3} - 2$ und $0$ .

$4 x^{3} - 2$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 2 = 0$ .

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Schritt 3.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} = 2$

Schritt 3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} - 2 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3} - 2$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$2 (2 x^{3}) - 2 = 0$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 1) = 0$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3}) + 2 (- 1)$ heraus.

$2 (2 x^{3} - 1) = 0$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 x^{3} - 1) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 x^{3} - 1) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x^{3} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $2 x^{3} - 1$ durch $1$ .

$2 x^{3} - 1 = \frac{0}{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$2 x^{3} - 1 = 0$

Schritt 3.5

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} = 1$

Schritt 3.6

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{3} = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{3} = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.6.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.8

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.8.1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$

Schritt 3.8.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Schritt 3.8.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.8.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.8.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.8.4.2

Potenziere $\sqrt[3]{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.8.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.8.4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Schritt 3.8.4.5

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als $2$ um.

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Schritt 3.8.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.8.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.8.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.8.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.8.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.8.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.8.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Schritt 3.8.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Schritt 3.8.5.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{4} - 2 x + 1$ bei $x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = {(\frac{\sqrt[3]{4}}{2})}^{4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ an.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{4}}^{4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.2.1

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{4}$ als $\sqrt[3]{4^{4}}$ um.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4^{4}}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Schritt 4.2.1.2.2

Potenziere $4$ mit $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{256}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Schritt 4.2.1.2.3

Schreibe $256$ als $4^{3} \cdot 4$ um.

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Schritt 4.2.1.2.3.1

Faktorisiere $64$ aus $256$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{64 (4)}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Schritt 4.2.1.2.3.2

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4^{3} \cdot 4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Schritt 4.2.1.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Schritt 4.2.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{16} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Schritt 4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $16$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt[3]{4}$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 (\sqrt[3]{4})}{16} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Schritt 4.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{4 \cdot 4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Schritt 4.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{4 \cdot 4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Schritt 4.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Schritt 4.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) + 1$

Schritt 4.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[3]{4}}{2}) + 1$

Schritt 4.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - 1 \sqrt[3]{4} + 1$

Schritt 4.2.1.6

Schreibe $- 1 \sqrt[3]{4}$ als $- \sqrt[3]{4}$ um.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4} + 1$

Schritt 4.2.2

Um $- \sqrt[3]{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4} \cdot \frac{4}{4} + 1$

Schritt 4.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.3.1

Kombiniere $- \sqrt[3]{4}$ und $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + \frac{- \sqrt[3]{4} \cdot 4}{4} + 1$

Schritt 4.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{4} \cdot 4}{4} + 1$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.4.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4} - 4 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Schritt 4.2.4.1.2

Subtrahiere $4 \sqrt[3]{4}$ von $\sqrt[3]{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Schritt 4.2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$ .

$- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Schritt 5

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = x^{4} - 2 x + 1$ ist $y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$ .

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Dezimalform:

$y = - 0.19055078 \dots$

Schritt 7