Analysis Beispiele

$y = 1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$

Schritt 1

Vereinfache $1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$ .

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Schritt 1.1

Bewege $1$ .

$y = 40 x^{3} - 3 x^{5} + 1$

Schritt 1.2

Stelle $40 x^{3}$ und $- 3 x^{5}$ um.

$y = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

Schritt 2

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{5}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [40 x^{3}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $40$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $40 x^{3}$ nach $x$ gleich $40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 15 x^{4} + 40 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 15 x^{4} + 40 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $40$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $- 15 x^{4} + 120 x^{2}$ und $0$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2}$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 15 x^{4} + 120 x^{2} = 0$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 120 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 15 u^{2} + 120 u = 0$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $15 u$ aus $- 15 u^{2} + 120 u$ heraus.

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Schritt 4.1.3.1

Faktorisiere $15 u$ aus $- 15 u^{2}$ heraus.

$15 u (- u) + 120 u = 0$

Schritt 4.1.3.2

Faktorisiere $15 u$ aus $120 u$ heraus.

$15 u (- u) + 15 u (8) = 0$

Schritt 4.1.3.3

Faktorisiere $15 u$ aus $15 u (- u) + 15 u (8)$ heraus.

$15 u (- u + 8) = 0$

Schritt 4.1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$

Schritt 4.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 8 = 0$

Schritt 4.3

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 4.3.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 4.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.4

Setze $- x^{2} + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $- x^{2} + 8$ gleich $0$ .

$- x^{2} + 8 = 0$

Schritt 4.4.2

Löse $- x^{2} + 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 8$

Schritt 4.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 8$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 4.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 4.4.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 4.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.2.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 8$

Schritt 4.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

Schritt 4.4.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{8}$ .

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Schritt 4.4.2.4.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.4.2.4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Schritt 4.4.2.4.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.4.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.4.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.4.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.4.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ bei $x = 0$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - 3 {(0)}^{5} + 40 {(0)}^{3} + 1$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = - 3 \cdot 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

Schritt 5.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 40 \cdot 0 + 1$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $40$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f (0) = 1$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 6

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ bei $x = 2 \sqrt{2}$ .

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 {(2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{2}$ an.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (2^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Schritt 6.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{5}$ als $\sqrt{2^{5}}$ um.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Schritt 6.2.1.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{32}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Schritt 6.2.1.5

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.2.1.5.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Schritt 6.2.1.5.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Schritt 6.2.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Schritt 6.2.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $32$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (128 \sqrt{2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Schritt 6.2.1.8

Mutltipliziere $128$ mit $- 3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Schritt 6.2.1.9

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{2}$ an.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (2^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Schritt 6.2.1.10

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Schritt 6.2.1.11

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

Schritt 6.2.1.12

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{8}) + 1$

Schritt 6.2.1.13

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.2.1.13.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

Schritt 6.2.1.13.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

Schritt 6.2.1.14

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 (2 \sqrt{2})) + 1$

Schritt 6.2.1.15

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (16 \sqrt{2}) + 1$

Schritt 6.2.1.16

Mutltipliziere $16$ mit $40$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 640 \sqrt{2} + 1$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 384 \sqrt{2}$ und $640 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 256 \sqrt{2} + 1$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $256 \sqrt{2} + 1$ .

$256 \sqrt{2} + 1$

Schritt 7

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ bei $x = - 2 \sqrt{2}$ .

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt{2}$ an.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 ({(- 2)}^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $5$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Schritt 7.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{5}$ als $\sqrt{2^{5}}$ um.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Schritt 7.2.1.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{32}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Schritt 7.2.1.5

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 7.2.1.5.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Schritt 7.2.1.5.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Schritt 7.2.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Schritt 7.2.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 32$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 128 \sqrt{2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Schritt 7.2.1.8

Mutltipliziere $- 128$ mit $- 3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Schritt 7.2.1.9

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt{2}$ an.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 ({(- 2)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Schritt 7.2.1.10

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Schritt 7.2.1.11

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

Schritt 7.2.1.12

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{8}) + 1$

Schritt 7.2.1.13

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 7.2.1.13.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

Schritt 7.2.1.13.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

Schritt 7.2.1.14

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 (2 \sqrt{2})) + 1$

Schritt 7.2.1.15

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 16 \sqrt{2}) + 1$

Schritt 7.2.1.16

Mutltipliziere $- 16$ mit $40$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} - 640 \sqrt{2} + 1$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $640 \sqrt{2}$ von $384 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 256 \sqrt{2} + 1$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 256 \sqrt{2} + 1$ .

$- 256 \sqrt{2} + 1$

Schritt 8

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ sind $y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$ .

$y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$

Schritt 9