Analysis Beispiele

$y = - 5 x^{2} - 2 x$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = - 5 x^{2} - 2 x$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 5 x^{2} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$- 10 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 x - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 10 x - 2 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 10 x - 2$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 10 x - 2 = 0$ .

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Schritt 3.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 10 x = 2$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 10 x = 2$ durch $- 10$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 10 x = 2$ durch $- 10$ .

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{2}{- 10}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 10$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{2}{- 10}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{- 10}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 10$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{2 (1)}{- 10}$

Schritt 3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 5}$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 5}$

Schritt 3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{- 5}$

Schritt 3.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{5}$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = - 5 x^{2} - 2 x$ bei $x = - \frac{1}{5}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{5}$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 {(- \frac{1}{5})}^{2} - 2 (- \frac{1}{5})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{5}$ an.

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{5})}^{2}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Schritt 4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{5^{2}})) - 2 (- \frac{1}{5})$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 (1 (\frac{1^{2}}{5^{2}})) - 2 (- \frac{1}{5})$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 \frac{1^{2}}{5^{2}} - 2 (- \frac{1}{5})$

Schritt 4.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 \frac{1}{5^{2}} - 2 (- \frac{1}{5})$

Schritt 4.2.1.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 (\frac{1}{25}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Schritt 4.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.1.6.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f (- \frac{1}{5}) = 5 (- 1) (\frac{1}{25}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Schritt 4.2.1.6.2

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$f (- \frac{1}{5}) = 5 \cdot (- 1 \frac{1}{5 \cdot 5}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Schritt 4.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{5}) = 5 \cdot (- 1 \frac{1}{5 \cdot 5}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Schritt 4.2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{5}) = - 1 (\frac{1}{5}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Schritt 4.2.1.7

Schreibe $- 1 (\frac{1}{5})$ als $- (\frac{1}{5})$ um.

$f (- \frac{1}{5}) = - (\frac{1}{5}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Schritt 4.2.1.8

Multipliziere $- 2 (- \frac{1}{5})$ .

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Schritt 4.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - \frac{1}{5} + 2 (\frac{1}{5})$

Schritt 4.2.1.8.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{5}$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - \frac{1}{5} + \frac{2}{5}$

Schritt 4.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{- 1 + 2}{5}$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{1}{5}$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5}$

Schritt 5

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = - 5 x^{2} - 2 x$ ist $y = \frac{1}{5}$ .

$y = \frac{1}{5}$

Schritt 6