Analysis Beispiele

$y = 4 x - 3 x^{2}$

Schritt 1

Stelle $4 x$ und $- 3 x^{2}$ um.

$y = - 3 x^{2} + 4 x$

Schritt 2

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = - 3 x^{2} + 4 x$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x^{2} + 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 x + 4 \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- 6 x + 4$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 6 x + 4 = 0$ .

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Schritt 4.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 x = - 4$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 6 x = - 4$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 x = - 4$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 4}{- 6}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 4}{- 6}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 6}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $- 6$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4$ heraus.

$x = \frac{- 2 (2)}{- 6}$

Schritt 4.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6$ heraus.

$x = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = - 3 x^{2} + 4 x$ bei $x = \frac{2}{3}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 3 {(\frac{2}{3})}^{2} + 4 (\frac{2}{3})$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$f (\frac{2}{3}) = - 3 \frac{2^{2}}{3^{2}} + 4 (\frac{2}{3})$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 3 \frac{4}{3^{2}} + 4 (\frac{2}{3})$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 3 (\frac{4}{9}) + 4 (\frac{2}{3})$

Schritt 5.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (\frac{2}{3}) = 3 (- 1) (\frac{4}{9}) + 4 (\frac{2}{3})$

Schritt 5.2.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (\frac{2}{3}) = 3 \cdot (- 1 \frac{4}{3 \cdot 3}) + 4 (\frac{2}{3})$

Schritt 5.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2}{3}) = 3 \cdot (- 1 \frac{4}{3 \cdot 3}) + 4 (\frac{2}{3})$

Schritt 5.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2}{3}) = - 1 (\frac{4}{3}) + 4 (\frac{2}{3})$

Schritt 5.2.1.5

Schreibe $- 1 (\frac{4}{3})$ als $- (\frac{4}{3})$ um.

$f (\frac{2}{3}) = - (\frac{4}{3}) + 4 (\frac{2}{3})$

Schritt 5.2.1.6

Multipliziere $4 (\frac{2}{3})$ .

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Schritt 5.2.1.6.1

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3}$

Schritt 5.2.1.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{4}{3} + \frac{8}{3}$

Schritt 5.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 4 + 8}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 4$ und $8$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Schritt 6

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = - 3 x^{2} + 4 x$ ist $y = \frac{4}{3}$ .

$y = \frac{4}{3}$

Schritt 7