Analysis Beispiele

$y = 6 x^{2} + 3 x - 6$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = 6 x^{2} + 3 x - 6$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} + 3 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$12 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 x + 3 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $12 x + 3$ und $0$ .

$12 x + 3$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x + 3 = 0$ .

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Schritt 3.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 x = - 3$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $12 x = - 3$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x = - 3$ durch $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 3}{12}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 3}{12}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{12}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $12$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$x = \frac{3 (- 1)}{12}$

Schritt 3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 4}$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 4}$

Schritt 3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 1}{4}$

Schritt 3.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 6 x^{2} + 3 x - 6$ bei $x = - \frac{1}{4}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 6 {(- \frac{1}{4})}^{2} + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{4}$ an.

$f (- \frac{1}{4}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Schritt 4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$f (- \frac{1}{4}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{4^{2}})) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 6 (1 (\frac{1^{2}}{4^{2}})) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 6 (\frac{1^{2}}{4^{2}}) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Schritt 4.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- \frac{1}{4}) = 6 (\frac{1}{4^{2}}) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Schritt 4.2.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 6 (\frac{1}{16}) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Schritt 4.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (- \frac{1}{4}) = 2 (3) (\frac{1}{16}) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Schritt 4.2.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f (- \frac{1}{4}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 8})) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Schritt 4.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{4}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 8})) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Schritt 4.2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{4}) = 3 (\frac{1}{8}) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Schritt 4.2.1.7

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{8}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Schritt 4.2.1.8

Multipliziere $3 (- \frac{1}{4})$ .

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Schritt 4.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - 3 (\frac{1}{4}) - 6$

Schritt 4.2.1.8.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} + \frac{- 3}{4} - 6$

Schritt 4.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3}{4} - 6$

Schritt 4.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 6$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 6$

Schritt 4.2.2.3

Schreibe $- 6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6}{1}$

Schritt 4.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

Schritt 4.2.2.6

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 2$ um.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

Schritt 4.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{8} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3 - 3 \cdot 2 - 6 \cdot 8}{8}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3 - 6 - 6 \cdot 8}{8}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $8$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3 - 6 - 48}{8}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.5.1

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 3 - 48}{8}$

Schritt 4.2.5.2

Subtrahiere $48$ von $- 3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 51}{8}$

Schritt 4.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{51}{8}$

Schritt 4.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{51}{8}$ .

$- \frac{51}{8}$

Schritt 5

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = 6 x^{2} + 3 x - 6$ ist $y = - \frac{51}{8}$ .

$y = - \frac{51}{8}$

Schritt 6