Analysis Beispiele

$y = 3 x^{2} - 6 x$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 6 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x - 6 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$6 x - 6$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x - 6 = 0$ .

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Schritt 3.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = 6$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 6$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 6$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{6}{6}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $6$ durch $6$ .

$x = 1$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 3 x^{2} - 6 x$ bei $x = 1$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (1) = 3 - 6 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f (1) = 3 - 6$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$f (1) = - 3$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 5

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = 3 x^{2} - 6 x$ ist $y = - 3$ .

$y = - 3$

Schritt 6