Analysis Beispiele

$y = 3 x^{2} - 5 x + 4$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 4$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 5 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$6 x - 5 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x - 5 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $6 x - 5$ und $0$ .

$6 x - 5$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x - 5 = 0$ .

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Schritt 3.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = 5$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 5$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 5$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{5}{6}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{5}{6}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{6}$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 4$ bei $x = \frac{5}{6}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5}{6}$ .

$f (\frac{5}{6}) = 3 {(\frac{5}{6})}^{2} - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{6}$ an.

$f (\frac{5}{6}) = 3 (\frac{5^{2}}{6^{2}}) - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = 3 (\frac{25}{6^{2}}) - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Schritt 4.2.1.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = 3 (\frac{25}{36}) - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Schritt 4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$f (\frac{5}{6}) = 3 (\frac{25}{3 (12)}) - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Schritt 4.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{6}) = 3 (\frac{25}{3 \cdot 12}) - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Schritt 4.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Schritt 4.2.1.5

Multipliziere $- 5 (\frac{5}{6})$ .

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Schritt 4.2.1.5.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{5}{6}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} + \frac{- 5 \cdot 5}{6} + 4$

Schritt 4.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} + \frac{- 25}{6} + 4$

Schritt 4.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25}{6} + 4$

Schritt 4.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{25}{6}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - (\frac{25}{6} \cdot \frac{2}{2}) + 4$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{25}{6}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + 4$

Schritt 4.2.2.3

Schreibe $4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{4}{1}$

Schritt 4.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{12}{12}$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{4 \cdot 12}{12}$

Schritt 4.2.2.6

Stelle die Faktoren von $6 \cdot 2$ um.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 12}{12}$

Schritt 4.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{12} + \frac{4 \cdot 12}{12}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 + 4 \cdot 12}{12}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $- 25$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25 - 50 + 4 \cdot 12}{12}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $12$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25 - 50 + 48}{12}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.5.1

Subtrahiere $50$ von $25$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{- 25 + 48}{12}$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $- 25$ und $48$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{23}{12}$

Schritt 4.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{23}{12}$ .

$\frac{23}{12}$

Schritt 5

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 4$ ist $y = \frac{23}{12}$ .

$y = \frac{23}{12}$

Schritt 6