Analysis Beispiele

$y = \sin (x)$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = \sin (x)$

Schritt 2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\cos (x) = 0$ .

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Schritt 3.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 3.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 3.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \sin (x)$ bei $x = \frac{π}{2}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \sin (x)$ bei $x = \frac{π}{2} + π$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2} + π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + π)$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 5.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Schritt 5.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $π$ und $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 5.2.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$f (\frac{π}{2} + π) = - \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 5.2.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1 \cdot 1$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

Schritt 5.2.7

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 6

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = \sin (x)$ ist $y = 1, y = - 1$ .

$y = 1, y = - 1$

Schritt 7