Analysis Beispiele

$y = \sin (5 x) + \cos (2 x)$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (5 x) + \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x$ .

$\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (5 x) (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\cos (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.2.5

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos (5 x)$ .

$5 \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$5 \cos (5 x) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$5 \cos (5 x) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$5 \cos (5 x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \cos (5 x) - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cos (5 x) - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$5 \cos (5 x) - \sin (2 x) \cdot 2$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$5 \cos (5 x) - 2 \sin (2 x)$

Schritt 3

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx 0.27239707, - 0.36860767, - 0.86117382, 1.01576505, - 1.57079632, 1.57079632, 2.12582759$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ bei $x = 0.27239707$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.27239707$ .

$f (0.27239707) = \sin (5 (0.27239707)) + \cos (2 (0.27239707))$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $0.27239707$ .

$f (0.27239707) = \sin (1.36198538) + \cos (2 (0.27239707))$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0.27239707$ .

$f (0.27239707) = \sin (1.36198538) + \cos (0.54479415)$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sin (1.36198538) + \cos (0.54479415)$ .

$\sin (1.36198538) + \cos (0.54479415)$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ bei $x = - 0.36860767$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.36860767$ .

$f (- 0.36860767) = \sin (5 (- 0.36860767)) + \cos (2 (- 0.36860767))$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 0.36860767$ .

$f (- 0.36860767) = \sin (- 1.84303835) + \cos (2 (- 0.36860767))$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.36860767$ .

$f (- 0.36860767) = \sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534)$

Schritt 5.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534)$ .

$\sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534)$

Schritt 6

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ bei $x = - 0.86117382$ .

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.86117382$ .

$f (- 0.86117382) = \sin (5 (- 0.86117382)) + \cos (2 (- 0.86117382))$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 0.86117382$ .

$f (- 0.86117382) = \sin (- 4.3058691) + \cos (2 (- 0.86117382))$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.86117382$ .

$f (- 0.86117382) = \sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764)$

Schritt 6.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764)$ .

$\sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764)$

Schritt 7

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ bei $x = 1.01576505$ .

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.01576505$ .

$f (1.01576505) = \sin (5 (1.01576505)) + \cos (2 (1.01576505))$

Schritt 7.2

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Schritt 7.2.1

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $1.01576505$ .

$f (1.01576505) = \sin (5.07882527) + \cos (2 (1.01576505))$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1.01576505$ .

$f (1.01576505) = \sin (5.07882527) + \cos (2.0315301)$

Schritt 7.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sin (5.07882527) + \cos (2.0315301)$ .

$\sin (5.07882527) + \cos (2.0315301)$

Schritt 8

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ bei $x = - 1.57079632$ .

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.57079632$ .

$f (- 1.57079632) = \sin (5 (- 1.57079632)) + \cos (2 (- 1.57079632))$

Schritt 8.2

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Schritt 8.2.1

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Schritt 8.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1.57079632$ .

$f (- 1.57079632) = \sin (- 7.85398163) + \cos (2 (- 1.57079632))$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1.57079632$ .

$f (- 1.57079632) = \sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265)$

Schritt 8.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265)$ .

$\sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265)$

Schritt 9

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ bei $x = 1.57079632$ .

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.57079632$ .

$f (1.57079632) = \sin (5 (1.57079632)) + \cos (2 (1.57079632))$

Schritt 9.2

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Schritt 9.2.1

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Schritt 9.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $1.57079632$ .

$f (1.57079632) = \sin (7.85398163) + \cos (2 (1.57079632))$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1.57079632$ .

$f (1.57079632) = \sin (7.85398163) + \cos (3.14159265)$

Schritt 9.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sin (7.85398163) + \cos (3.14159265)$ .

$\sin (7.85398163) + \cos (3.14159265)$

Schritt 10

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ bei $x = 2.12582759$ .

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.12582759$ .

$f (2.12582759) = \sin (5 (2.12582759)) + \cos (2 (2.12582759))$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

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Schritt 10.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $2.12582759$ .

$f (2.12582759) = \sin (10.62913799) + \cos (2 (2.12582759))$

Schritt 10.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2.12582759$ .

$f (2.12582759) = \sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$

Schritt 10.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$ .

$\sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$

Schritt 11

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ sind $y = \sin (1.36198538) + \cos (0.54479415), y = \sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534), y = \sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764), y = \sin (5.07882527) + \cos (2.0315301), y = \sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265), y = \sin (7.85398163) + \cos (3.14159265), y = \sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$ .

$y = \sin (1.36198538) + \cos (0.54479415), y = \sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534), y = \sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764), y = \sin (5.07882527) + \cos (2.0315301), y = \sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265), y = \sin (7.85398163) + \cos (3.14159265), y = \sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$

Schritt 12