Analysis Beispiele

$y = \cos (x)$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = \cos (x)$

Schritt 2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \sin (x) = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 3.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 3.5

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 3.6

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \cos (x)$ bei $x = π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

$f (π) = \cos (π)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$f (π) = - \cos (0)$

Schritt 4.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (π) = - 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (π) = - 1$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 5

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = \cos (x)$ ist $y = x = π n, y = - 1$ .

$y = x = π n, y = - 1$

Schritt 6