Analysis Beispiele

$y = 7 x^{2} + 5 x$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x^{2} + 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{2}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$14 x + 5 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$14 x + 5$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $14 x + 5 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$14 x = - 5$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $14 x = - 5$ durch $14$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $14 x = - 5$ durch $14$ .

$\frac{14 x}{14} = \frac{- 5}{14}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14 x}{14} = \frac{- 5}{14}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{14}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{14}$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 7 x^{2} + 5 x$ bei $x = - \frac{5}{14}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{5}{14}$ .

$f (- \frac{5}{14}) = 7 {(- \frac{5}{14})}^{2} + 5 (- \frac{5}{14})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{14}$ an.

$f (- \frac{5}{14}) = 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{14})}^{2}) + 5 (- \frac{5}{14})$

Schritt 4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{14}$ an.

$f (- \frac{5}{14}) = 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{14^{2}})) + 5 (- \frac{5}{14})$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (1 (\frac{5^{2}}{14^{2}})) + 5 (- \frac{5}{14})$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{14^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (\frac{5^{2}}{14^{2}}) + 5 (- \frac{5}{14})$

Schritt 4.2.1.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (\frac{25}{14^{2}}) + 5 (- \frac{5}{14})$

Schritt 4.2.1.5

Potenziere $14$ mit $2$ .

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (\frac{25}{196}) + 5 (- \frac{5}{14})$

Schritt 4.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.6.1

Faktorisiere $7$ aus $196$ heraus.

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (\frac{25}{7 (28)}) + 5 (- \frac{5}{14})$

Schritt 4.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (\frac{25}{7 \cdot 28}) + 5 (- \frac{5}{14})$

Schritt 4.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} + 5 (- \frac{5}{14})$

Schritt 4.2.1.7

Multipliziere $5 (- \frac{5}{14})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} - 5 (\frac{5}{14})$

Schritt 4.2.1.7.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{5}{14}$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} + \frac{- 5 \cdot 5}{14}$

Schritt 4.2.1.7.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} + \frac{- 25}{14}$

Schritt 4.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} - \frac{25}{14}$

Schritt 4.2.2

Um $- \frac{25}{14}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} - \frac{25}{14} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $28$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{25}{14}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} - \frac{25 \cdot 2}{14 \cdot 2}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $14$ mit $2$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} - \frac{25 \cdot 2}{28}$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25 - 25 \cdot 2}{28}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $- 25$ mit $2$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25 - 50}{28}$

Schritt 4.2.5.2

Subtrahiere $50$ von $25$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{- 25}{28}$

Schritt 4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{5}{14}) = - \frac{25}{28}$

Schritt 4.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{25}{28}$ .

$- \frac{25}{28}$

Schritt 5

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = 7 x^{2} + 5 x$ ist $y = - \frac{25}{28}$ .

$y = - \frac{25}{28}$

Schritt 6