Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x^{2} - 4 x + 3$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} - 4 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$10 x - 4 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$10 x - 4 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $10 x - 4$ und $0$ .

$10 x - 4$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $10 x - 4 = 0$ .

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Schritt 2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$10 x = 4$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $10 x = 4$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 x = 4$ durch $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{4}{10}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 x}{10} = \frac{4}{10}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{10}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $10$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 (2)}{10}$

Schritt 2.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Schritt 2.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{5}$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 5 x^{2} - 4 x + 3$ bei $x = \frac{2}{5}$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = 5 {(\frac{2}{5})}^{2} - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{5}$ an.

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5^{2}}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{25}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5 (5)}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Schritt 3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5 \cdot 5}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Schritt 3.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5} - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Schritt 3.2.1.5

Multipliziere $- 4 (\frac{2}{5})$ .

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Schritt 3.2.1.5.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + \frac{- 4 \cdot 2}{5} + 3$

Schritt 3.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + \frac{- 8}{5} + 3$

Schritt 3.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5} - \frac{8}{5} + 3$

Schritt 3.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2}{5}) = 3 + \frac{4 - 8}{5}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.2.1

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$f (\frac{2}{5}) = 3 + \frac{- 4}{5}$

Schritt 3.2.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2}{5}) = 3 - \frac{4}{5}$

Schritt 3.2.3

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = 3 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $3$ und $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{3 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

Schritt 3.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{3 \cdot 5 - 4}{5}$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{15 - 4}{5}$

Schritt 3.2.6.2

Subtrahiere $4$ von $15$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{11}{5}$

Schritt 3.2.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{11}{5}$ .

$\frac{11}{5}$

Schritt 4

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = 5 x^{2} - 4 x + 3$ ist $y = \frac{11}{5}$ .

$y = \frac{11}{5}$

Schritt 5