Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$9 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$9 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$9 x^{2} - 4 x + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $9 x^{2} - 4 x$ und $0$ .

$9 x^{2} - 4 x$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $9 x^{2} - 4 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $9 x^{2} - 4 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$x (9 x) - 4 x = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$x (9 x) + x \cdot - 4 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (9 x) + x \cdot - 4$ heraus.

$x (9 x - 4) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$9 x - 4 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $9 x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $9 x - 4$ gleich $0$ .

$9 x - 4 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $9 x - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x = 4$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 4$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 4$ durch $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{4}{9}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x}{9} = \frac{4}{9}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{9}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (9 x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{4}{9}$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$ bei $x = 0$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 3 {(0)}^{3} - 2 {(0)}^{2} - 9$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 2 {(0)}^{2} - 9$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{2} - 9$

Schritt 3.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 - 9$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 9$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 - 9$

Schritt 3.2.2.2

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$f (0) = - 9$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 9$ .

$- 9$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$ bei $x = \frac{4}{9}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{4}{9}$ .

$f (\frac{4}{9}) = 3 {(\frac{4}{9})}^{3} - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{9}$ an.

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{4^{3}}{9^{3}}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{64}{9^{3}}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Schritt 4.2.1.3

Potenziere $9$ mit $3$ .

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{64}{729}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Schritt 4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $729$ heraus.

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{64}{3 (243)}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Schritt 4.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{64}{3 \cdot 243}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Schritt 4.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Schritt 4.2.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{9}$ an.

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - 2 \frac{4^{2}}{9^{2}} - 9$

Schritt 4.2.1.6

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - 2 \frac{16}{9^{2}} - 9$

Schritt 4.2.1.7

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - 2 (\frac{16}{81}) - 9$

Schritt 4.2.1.8

Multipliziere $- 2 (\frac{16}{81})$ .

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Schritt 4.2.1.8.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{16}{81}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} + \frac{- 2 \cdot 16}{81} - 9$

Schritt 4.2.1.8.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $16$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} + \frac{- 32}{81} - 9$

Schritt 4.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32}{81} - 9$

Schritt 4.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{32}{81}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - (\frac{32}{81} \cdot \frac{3}{3}) - 9$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{32}{81}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{81 \cdot 3} - 9$

Schritt 4.2.2.3

Schreibe $- 9$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{- 9}{1}$

Schritt 4.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{- 9}{1}$ mit $\frac{243}{243}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{243}{243}$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 9}{1}$ mit $\frac{243}{243}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{- 9 \cdot 243}{243}$

Schritt 4.2.2.6

Stelle die Faktoren von $81 \cdot 3$ um.

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 81} + \frac{- 9 \cdot 243}{243}$

Schritt 4.2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $81$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{243} + \frac{- 9 \cdot 243}{243}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64 - 32 \cdot 3 - 9 \cdot 243}{243}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $- 32$ mit $3$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64 - 96 - 9 \cdot 243}{243}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $243$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64 - 96 - 2187}{243}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.5.1

Subtrahiere $96$ von $64$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{- 32 - 2187}{243}$

Schritt 4.2.5.2

Subtrahiere $2187$ von $- 32$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{- 2219}{243}$

Schritt 4.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{4}{9}) = - \frac{2219}{243}$

Schritt 4.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2219}{243}$ .

$- \frac{2219}{243}$

Schritt 5

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$ sind $y = - 9, y = - \frac{2219}{243}$ .

$y = - 9, y = - \frac{2219}{243}$

Schritt 6